Поэтапное аналитическое моделирование боевых действий "один против всех" на основе модели "динамики средних"

Предложен аналитический метод поэтапного моделирования боевых действий "один против всех" на основе модели "динамики средних". Показано, что поиск функций изменения численностей группировок сторон в указанном случае не требует решения общей проблемы собственных значений для матрицы интенсивностей поражающего действия, имеющей место при классическом операторном методе. При этом изображения численностей группировок сторон формируются на базе какого-либо алгоритма развертывания характеристического определителя, обеспечивающего выборочный исходя из рациональности вычислений поиск необходимых передаточных функций системы. Оригиналы функций изменения численностей группировок сторон находятся с помощью вычетов для изображений повторяющегося стандартного вида, инвариантных к порядку модели. Необходимые для расчетов значения полюсов находятся с помощью элементарных операций. При моделировании учитывается объективная необходимость разбиения процесса противостояния на этапы по мере выбывания участвующих группировок стороны "все", в отличие от ситуации, когда первой уничтожается сторона "один". Приведены расчетные формулы для условных временных точек, характеризующих либо момент окончания боя, либо момент перехода на новый этап с редуцированием модели при уничтожении одного из компонентов стороны "все". Сопряжение функций изменения численностей группировок, рассчитываемых поэтапно, осуществляется со сдвигом условного времени. Предложенные процедуры анализа иллюстрируются примером моделирования в среде MathCAD 14.0, в том числе в сравнении с известными численными методами. Показано, что встроенные функции численного интегрирования в MathCAD 14.0 применительно к решаемой задаче оказываются "недееспособными" и приводят к грубым результатам. В то же время аппроксимация матричной экспоненты по методу функционально-преобразованных матриц приводит к оценкам, практически совпадающим с получаемыми аналитически.

1. Осипов М. П. Влияние численности сражающихся сторон на их потери // Военный сборник. 1915. № 6. С. 59—74; № 7. С. 25—36; № 8. С. 31—40; № 9. С. 25—37; № 10. С. 93—96.

2. Lanchester F. Aircraft in Warfare: the Dawn of the Fourth Arm. London: Constable and Co, 1916. 243 p.

3. Новиков Д. А. Иерархические модели военных действий // Управление большими системами. 2012. Вып. 37. С. 25—62.

4. Перевозчиков А. Г., Решетов В. Ю., Яночкин И. Е. Модель "нападение-оборона" с неоднородными ресурсами сторон // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 1. С. 42—51.

5. Шумов В. В. Расширение модели "наступление—оборона" // Проблемы управления. 2020. № 1. С. 59—70.

6. Шумов В. В., Корепанов В. О. Математические модели боевых и военных действий // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12, № 1. С. 217—242.

7. Шумов В. В., Корепанов В. О. Исследование теоретико-игровых моделей боевых действий // Математическая теория игр и ее приложения. 2021. Т. 13, Вып. 2. С. 80—117.

8. Васин А. А., Цыганов Н. И. Динамическая вероятностная модель двустороннего боя // Прикладная математика и информатика. 2021. Т. 67. С. 66—88.

9. Корепанов В. О., Чхартишвили А. Г., Шумов В. В. Базовые модели боевых действий // Управление большими системами. 2023. Вып. 103. С. 40—77.

10. Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.

11. Алексеев О. Г., Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Марковские модели боя. М.: МО СССР, 1985. 85 с.

12. Алексеев О. Г., Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Модели распределения средств поражения в динамике боя. М.: МО СССР. 1989. 110 с.

13. Буравлев А. И., Гордеев В. С. Модель динамики противоборства неоднородных группировок сил // Вооружение и экономика. 2009. № 1 (5). С. 13—25.

14. Буравлев А. И. Дифференциальное уравнение для количественного соотношения численностей противоборствующих сторон // Вооружение и экономика. 2009. № 4 (8). С. 4—8.

15. Буравлев А. И., Русанов И. П. Динамика боевых потенциалов // Военная Мысль. 2011. № 1. С. 26—30.

16. Брезгин В. С., Буравлев А. И. Уравнения динамики боевых потенциалов противоборствующих группировок // Вооружение и экономика. 2011. № 1 (13). С. 59—65.

17. Буравлев А. И., Горшков П. С. К вопросу о построении агрегированной модели противоборства группировок войск // Вооружение и экономика. 2017. № 5 (42). С. 35—48.

18. Бойко А. А. Способ аналитического моделирования боевых действий // Системы управления, связи и безопасности. 2019. № 2. С. 1—27.

19. Бойко А. А., Майхуб Х. И., Овчинников К. Е. Аналитическая модель боевого эпизода // Системы управления, связи и безопасности. 2025. № 2. С. 120—137.

20. Борисов В. В., Сысков В. В. Мультиагентное моделирование сложных организационно-технических систем в условиях противоборства // Информационные технологии. 2012. № 4. С. 7—14.

21. Морозов Н. А. Теоретические основы качественного анализа больших военных систем. Монография. М.: Министерство обороны, 2003.

22. Горевич Б. Н. Выработка способа противовоздушной обороны объекта на основе комплексного использования разнотипных математических моделей боевых действий // Военная мысль. 2008. № 9. С. 60—66.

23. Филимонов Н. Б. Методологический кризис "всепобеждающей математизации" современной теории управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 5. С. 66—88.

24. Земсков А. В. Построение матрицы передаточных функций системы высокого порядка // Автоматика и телемеханика. 1993. Т. 54, № 11. С. 40—45.

25. Земсков А. В. Метод выборочного поиска для собственных векторов матриц и его практические приложения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 365—375.

26. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Пер. с англ. В. Г. Дунаева [и др.] / Под ред. П. И. Попова. М.: Машиностроение. 1986. 448 с.

27. Земсков А. В. Аналитический подход к исследованию неоднородных марковских цепей с кусочно-постоянными изменениями переходных вероятностей // Изв. вузов. Приборостроение. 2024. Т. 67, № 8. С. 657—669. DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-8-657-669.

28. Земсков А. В. Аналитический подход к выборочному поиску функций вероятностей состояний для марковских процессов // Изв. вузов. Приборостроение. 2025. Т. 68, № 6. С. 465—481. DOI: 10.17586/0021-3454-2025-68-6-465-481.

29. Бабаков Н. А., Воронов А. А., Воронова А. А. и др./ Под ред. А. А. Воронова. Теория автоматического управле-ния: Учебник для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. М.: Высшая школа, 1986. 367