novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.27.361-372novtexmech-2055Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGПоэтапное аналитическое моделирование боевых действий "один против всех" на основе модели "динамики средних"Phased Analytical Modeling of "One-vs-All" Combat Operations Based on the "Mean Dynamics" ModelЗемсковА. В.ZemskovA. V.

А. В. Земсков, д-р техн. наук, проф.

г. Санкт-Петербург

Zemskov A. V., Dr. of Tech. Sc., Professor

Saint Petersburg

aleksei.zemskov@yandex.ruГосударственный университет морского и речного флота имени адмирала С. О. МакароваРоссияFederal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Admiral S. O. Makarov State University of Maritime and Inland Shipping"Russian Federation202620072026277361372Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20262026Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/2055

Предложен аналитический метод поэтапного моделирования боевых действий "один против всех" на основе модели "динамики средних". Показано, что поиск функций изменения численностей группировок сторон в указанном случае не требует решения общей проблемы собственных значений для матрицы интенсивностей поражающего действия, имеющей место при классическом операторном методе. При этом изображения численностей группировок сторон формируются на базе какого-либо алгоритма развертывания характеристического определителя, обеспечивающего выборочный исходя из рациональности вычислений поиск необходимых передаточных функций системы. Оригиналы функций изменения численностей группировок сторон находятся с помощью вычетов для изображений повторяющегося стандартного вида, инвариантных к порядку модели. Необходимые для расчетов значения полюсов находятся с помощью элементарных операций. При моделировании учитывается объективная необходимость разбиения процесса противостояния на этапы по мере выбывания участвующих группировок стороны "все", в отличие от ситуации, когда первой уничтожается сторона "один". Приведены расчетные формулы для условных временных точек, характеризующих либо момент окончания боя, либо момент перехода на новый этап с редуцированием модели при уничтожении одного из компонентов стороны "все". Сопряжение функций изменения численностей группировок, рассчитываемых поэтапно, осуществляется со сдвигом условного времени. Предложенные процедуры анализа иллюстрируются примером моделирования в среде MathCAD 14.0, в том числе в сравнении с известными численными методами. Показано, что встроенные функции численного интегрирования в MathCAD 14.0 применительно к решаемой задаче оказываются "недееспособными" и приводят к грубым результатам. В то же время аппроксимация матричной экспоненты по методу функционально-преобразованных матриц приводит к оценкам, практически совпадающим с получаемыми аналитически.

An analytical method for the step-by-step modeling of "one-versus-all" combat operations based on the "mean-field dynamics" model is proposed. It is shown that finding the functions describing the change in the number of groups on each side does not require solving the general eigenvalue problem for the lethality matrix, which is necessary in the classical operator method. Instead, the images of the group sizes are formed based on an algorithm for expanding the characteristic determinant, enabling a selective search for the necessary transfer functions of the system based on computational efficiency. The original functions describing the change in the number of groups on each side are found using residues for images of a repeating standard form, invariant to the model order. The pole values required for the calculations are found using elementary operations. The modeling takes into account the objective necessity of dividing the confrontation process into stages as the participating groups of the "all" side are eliminated, in contrast to the situation where the "one" side is destroyed first. Calculation formulas are provided for conditional time points that characterize either the end of the battle or the moment of transition to a new stage with model reduction upon the destruction of one of the components of the "all" side. The conjugation of the functions describing the change in the number of groups, calculated step-by-step, is performed with a shift in conditional time. The proposed analysis procedures are illustrated by a modeling example in Mathcad 14.0, including a comparison with known numerical methods. It is shown that the built-in numerical integration functions in Mathcad 14.0 are "incapable" of solving the problem and lead to rough results. At the same time, the approximation of the matrix exponential using the method of functionally transformed matrices leads to estimates that practically coincide with those obtained analytically.

поэтапное аналитическое моделированиединамика среднихпередаточная функциявычетыфункции изменения численностей группировокphased analytical modelingdynamics of meanstransfer functionresiduesfunctions of group population dynamicsReferencesОсипов М. П. Влияние численности сражающихся сторон на их потери // Военный сборник. 1915. № 6. С. 59—74; № 7. С. 25—36; № 8. С. 31—40; № 9. С. 25—37; № 10. С. 93—96.Osipov M. P. The influence of the number of combatants on their losses, Military collection, 1915, no. 6, pp. 59—74; no. 7,Lanchester F. Aircraft in Warfare: the Dawn of the Fourth Arm. London: Constable and Co, 1916. 243 p.pp. 25—36; no. 8, pp. 31—40; no. 9, pp. 25—37; no. 10, pp. 93—96 (in Russian).Новиков Д. А. Иерархические модели военных действий // Управление большими системами. 2012. Вып. 37. С. 25—62.Lanchester F. Aircraft in Warfare: the Dawn of the Fourth Arm, London, Constable and Co, 1916, 243 p.Перевозчиков А. Г., Решетов В. Ю., Яночкин И. Е. Модель "нападение-оборона" с неоднородными ресурсами сторон // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58, № 1. С. 42—51.Novikov D. A. Hierarchical models of combat, Large-scale Systems Control, 2012, iss. 37, pp. 25—62 (in Russian).Шумов В. В. Расширение модели "наступление—оборона" // Проблемы управления. 2020. № 1. С. 59—70.Perevozchikov A. G., Reshetov V. Yu., Yanochkin I. E. "Attack-defense" model with heterogeneous resources of the parties, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2018, vol. 58, no. 1, pp. 42—51 (in Russian).Шумов В. В., Корепанов В. О. Математические модели боевых и военных действий // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12, № 1. С. 217—242.Shumov V. V. Expansion of the "attack—defense" model, Control Sciences, 2020, no. 1, pp. 59—70 (in Russian).Шумов В. В., Корепанов В. О. Исследование теоретико-игровых моделей боевых действий // Математическая теория игр и ее приложения. 2021. Т. 13, Вып. 2. С. 80—117.Shumov V. V., Korepanov V. O. Mathematical models of combat and military operations, Computer Research and Modeling, 2020, vol. 12, iss. 1, pp. 217—242 (in Russian).Васин А. А., Цыганов Н. И. Динамическая вероятностная модель двустороннего боя // Прикладная математика и информатика. 2021. Т. 67. С. 66—88.Shumov V. V., Korepanov V. O. Game-theoretic models of battle action, Matematicheskaya Teoriya Igr i Ee Prilozheniya, 2021, vol. 13, iss. 2, pp. 80—117 (in Russian).Корепанов В. О., Чхартишвили А. Г., Шумов В. В. Базовые модели боевых действий // Управление большими системами. 2023. Вып. 103. С. 40—77.Vasin A. A., Tsyganov N. I. Dynamic probabilistic model of a two-sided battle, Computational Mathematics and Modeling, 2021, vol. 67, pp. 66—88 (in Russian).Краснощеков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.Korepanov V. O., Chkhartishvili A. G., Shumov V. V. Basic combat models, Large-scale Systems Control, 2023, iss. 103, pp. 40—77 (in Russian).Алексеев О. Г., Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Марковские модели боя. М.: МО СССР, 1985. 85 с.Krasnoshchekov P. S., Petrov А. A. Principles of Model Construction, Moscow, Moscow State University Publishing House, 1983, 264 p. (in Russian).Алексеев О. Г., Анисимов В. Г., Анисимов Е. Г. Модели распределения средств поражения в динамике боя. М.: МО СССР. 1989. 110 с.Alekseev O. G., Anisimov V. G., Anisimov E. G. Markov combat models, Moscow, Ministry of Defense of the USSR, 1985, 85 p. (in Russian).Буравлев А. И., Гордеев В. С. Модель динамики противоборства неоднородных группировок сил // Вооружение и экономика. 2009. № 1 (5). С. 13—25.Alekseev O. G., Anisimov V. G., Anisimov E. G. Models of distribution of weapons in combat dynamics, Moscow, Ministry of Defense of the USSR, 1989, 110 p. (in Russian).Буравлев А. И. Дифференциальное уравнение для количественного соотношения численностей противоборствующих сторон // Вооружение и экономика. 2009. № 4 (8). С. 4—8.Buravlev A. I., Gordeev V. S. Model of the dynamics of confrontation of heterogeneous force groups, Vooruzheniye i ekonomika, 2009, no. 1 (5), pp. 13—25 (in Russian).Буравлев А. И., Русанов И. П. Динамика боевых потенциалов // Военная Мысль. 2011. № 1. С. 26—30.Buravlev А. I. Differential equation for the quantitative ratio of the numbers of the opposing sides, Vooruzheniye i ekonomika, 2009, no. 4 (8), pp. 4—8 (in Russian).Брезгин В. С., Буравлев А. И. Уравнения динамики боевых потенциалов противоборствующих группировок // Вооружение и экономика. 2011. № 1 (13). С. 59—65.Buravlev A. I., Rusanov I. P. Dynamics of combat potentials, Military thought, 2011, no. 1, pp. 26—30 (in Russian).Буравлев А. И., Горшков П. С. К вопросу о построении агрегированной модели противоборства группировок войск // Вооружение и экономика. 2017. № 5 (42). С. 35—48.Brezgin V. S., Buravlev А. I. Equations of the dynamics of combat potentials of opposing groups, Vooruzheniye i ekonomika, 2011, no. 1 (13), pp. 59—65 (in Russian).Бойко А. А. Способ аналитического моделирования боевых действий // Системы управления, связи и безопасности. 2019. № 2. С. 1—27.Buravlev A. I., Gorshkov P. S. On the issue of constructing an aggregated model of confrontation between troop groups, Vooruzheniye i ekonomika, 2017, no. 5 (42), pp. 35—48 (in Russian).Бойко А. А., Майхуб Х. И., Овчинников К. Е. Аналитическая модель боевого эпизода // Системы управления, связи и безопасности. 2025. № 2. С. 120—137.Boyko А. A. Warfare Analytical Modelling Method, Systems of Control, Communication and Security, 2019, no. 2, pp. 1—27 (in Russian).Борисов В. В., Сысков В. В. Мультиагентное моделирование сложных организационно-технических систем в условиях противоборства // Информационные технологии. 2012. № 4. С. 7—14.Boyko A. A., Maihoub H. I., Ovchinnikov K. E. Combat Episode Analytical Model, Systems of Control, Communication and Security, 2025, no. 2, pp. 120—137 (in Russian).Морозов Н. А. Теоретические основы качественного анализа больших военных систем. Монография. М.: Министерство обороны, 2003.Borisov V. V., Syskov V. V. Multi-agent modeling of complex organizational and technical systems in confrontation conditions, Informatsionnyye tekhnologii, 2012, no. 4, pp. 7—14 (in Russian).Горевич Б. Н. Выработка способа противовоздушной обороны объекта на основе комплексного использования разнотипных математических моделей боевых действий // Военная мысль. 2008. № 9. С. 60—66.Morozov N. A. Theoretical Foundations of Qualitative Analysis of Large Military Systems, Moscow, Ministry of Defense, 2003.Филимонов Н. Б. Методологический кризис "всепобеждающей математизации" современной теории управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 5. С. 66—88.Gorevich В. N. Development of a method of air defense of an object based on the integrated use of different types of mathematical models of combat operations, Military thought, 2008, no. 9, pp. 60—66 (in Russian).Земсков А. В. Построение матрицы передаточных функций системы высокого порядка // Автоматика и телемеханика. 1993. Т. 54, № 11. С. 40—45.Filimonov N. B. Methodological Crisis of the "All Winning Mathematization" of the Modern Control Theory, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2015, vol. 17, no. 5, pp. 291—301 (in Russian).Земсков А. В. Метод выборочного поиска для собственных векторов матриц и его практические приложения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 365—375.Zemskov А. V. Construction of a transfer function matrix for a higher-order system, Automation and Remote Control, 1993, vol. 54, no. 11, pp. 1607—1611.Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления / Пер. с англ. В. Г. Дунаева [и др.] / Под ред. П. И. Попова. М.: Машиностроение. 1986. 448 с.Zemskov A. V. А method for selective computation of eigenvectors of matrices and its practical applications, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1998, vol. 38, no. 3, pp. 365—375 (in Russian).Земсков А. В. Аналитический подход к исследованию неоднородных марковских цепей с кусочно-постоянными изменениями переходных вероятностей // Изв. вузов. Приборостроение. 2024. Т. 67, № 8. С. 657—669. DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-8-657-669.Kuo В. Theory and design of digital control systems, Ed. by P. I. Popov, Moscow, Mashinostroyeniye, 1986, 448 p. (in Russian).Земсков А. В. Аналитический подход к выборочному поиску функций вероятностей состояний для марковских процессов // Изв. вузов. Приборостроение. 2025. Т. 68, № 6. С. 465—481. DOI: 10.17586/0021-3454-2025-68-6-465-481.Zemskov А. V. Analytical approach to the study of heterogeneous Markov chains with piecewise constant changes in transition probabilities, Journal of Instrument Engineering, 2024, vol. 67, no. 8, pp. 657—669 (in Russian), DOI: 10.17586/0021-3454-2024-67-8-657-669.Бабаков Н. А., Воронов А. А., Воронова А. А. и др./ Под ред. А. А. Воронова. Теория автоматического управле-ния: Учебник для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. М.: Высшая школа, 1986. 367Zemskov А. V. Analytical approach to the selective search of state probability functions for Markov processes, Journal of Instrument Engineering, 2025, vol. 68, no. 6, pp. 465—481 (in Russian), DOI: 10.17586/0021-3454-2025-68-3-465-481.Babakov N. A., Voronov А. A., Voronova А. A. et al. Theory of Automatic Control: Textbook for Universities in the Specialty "Automation and Remote Control". In 2 Parts. Part I. Theory of Linear Automatic Control Systems, Edited by А. A. Voronov, Moscow, Vysshaya shkola, 1986, 367 p. (in Russian).Babakov N. A., Voronov А. A., Voronova А. A. et al. Theory of Automatic Control: Textbook for Universities in the Specialty "Automation and Remote Control". In 2 Parts. Part I. Theory of Linear Automatic Control Systems, Edited by А. A. Voronov, Moscow, Vysshaya shkola, 1986, 367 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.