К синтезу нелинейных систем управления на основе квазилинейных моделей

При решении задачи синтеза нелинейных систем управления, как правило, применяются некоторые преобразования математических моделей. При этом удобно использовать математические тождества алгебры полиномов, векторов и матриц с числовыми и функциональными коэффициентами, доказанные в данной работе. Эти тождества могут использоваться как при выполнении преобразований математических моделей линейных систем управления с постоянными параметрами, так и при исследовании нелинейных систем, представленных квазилинейными моделями. Эти полиномиально-матричные тождества имеют и самостоятельное значение, так как могут применяться при алгебраических преобразованиях как отдельных векторно-матричных выражений, так и полиномиально-матричных с комплексными аргументами. Применение этих тождеств к моделям c зависимыми от состояния коэффициентами (state-dependent coefficients) систем управления проблематично, поскольку эти модели очень часто описывают исходные нелинейные объекты и системы приближенно.

Представленные в данной статье тождества доказаны путем эквивалентных преобразований операторных уравнений в переменных состояния нелинейных систем управления с обратными связями, представленных квазилинейными моделями. Для применения доказанных тождеств нелинейные объекты и системы могут описываться нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши и уравнениями выхода. Важно лишь, чтобы нелинейности в этих уравнениях были дифференцируемыми по всем своим аргументам. С применением некоторых из доказанных полиномиально-матричных тождеств получены: решение задачи размещения собственных значений системной матрицы квазилинейных моделей замкнутых систем; критерий управляемости выхода нелинейных объектов и критерий управляемости нелинейных систем посредством задающих воздействий. Приведены два примера нелинейных объектов с неуправляемым выходом — перевернутый маятник с маховиком и перевернутый маятник на подвижной тележке. Также приведены численные примеры, свидетельствующие о корректности полученных полиномиально-матричных тождеств.

Доказанные тождества могут использоваться при решении различных задач создания систем управления линейными и нелинейными объектами промышленного, сельскохозяйственного, социального и специального назначения.

1. Sastry S. Linearization by State Feedback. In Nonlinear Systems // Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 10. New York, Springer, 1999. P. 384—448. DOI: 10.1007/978-1-4757-3108-8_9.

2. Zhu Y., Krstic M., Su H., Xu C. Linear backstepping output feedback control for uncertain linear systems // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2016. Vol. 30. P. 1080—1098.

3. Филимонов Н. Б. Полиэдральное программирование в дискретных задачах управления // Информационные технологии. Приложение. 2004. № 1. 32 с.

4. Пшихопов В. Х., Медведев М. Ю., Крухмалев В. А. Позиционно-траекторное управление подвижными объектами в трехмерной среде с точечными препятствиями // Известия ЮФУ. Технические науки. 2015. № 1 (162). С. 238—250.

5. Madeira D. d. S., Adamy J. Feedback control of nonlinear systems using passivity indices // IEEE Conference on Control Applications (CCA), Sydney, NSW, Australia, 2015. P. 263—268. DOI: 10.1109/CCA.2015.7320639.

6. Краснова С. А., Уткин В. А., Уткин А. В. Блочный синтез управления механическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника, автоматизация и управление. 2009. № 6. С. 41—54.

7. Гайдук А. Р. Алгебраический синтез нелинейных стабилизирующих управлений // Синтез алгоритмов сложных систем. Вып. 7. Таганрог: ТРТИ, 1989. С. 15—19.

8. Gaiduk А. R. Analytical Nonlinear Systems Design // In book III European Control Conference, Italy, Roma 5—8 September, 1995. P. 1503—1505.

9. Гайдук А. Р. Об устойчивости квазилинейных систем // Материалы XLIV НТК № 1 (36). Таганрог: ТРТУ, 2004. С. 48—52.

10. Гайдук А. Р. Численный метод синтеза квазилинейных моделей нелинейных объектов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 6. P. 283—390. DOI: 10/17587/may.22.283-290

11. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

12. Cloutier J. R., D’Souza C. N., Mracek C. P. Nonlinear Regulation and Nonlinear Н∞ Control Via the State-Dependent Riccati Equation Technique: Part 1, Theory; Part 2, Examples // Proc. of the First International Conference on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace. 1996, Daytona Beach, FL. P. 117—141.

13. Marcek C. P., Cloutier J. R. Missile Longitudinal Autopilot Design Using the State-Dependent Riccati Equation Method // In Proc. of the 1996 IEEE Int. Conf. on Control Applications. Deaborn, MI, Sep. 1996. P. 265—272.

14. Pearson J. D. Approximation methods in optimal control // Journal of Electronics and Control. 1962. Vol. 13. P. 453—469.

15. Lin L.-G., Vandewalle J., Liang Y.-W. Analytical representation of the state-dependent coefficients in the SDRE/ SDDRE scheme for multivariable systems // Automatica. 2015.Vol. 59. P. 106—111. DOI: 10.1016/j.automatica.2015.06.015.

16. Çimen T. State-Dependent Riccati Equation (SDRE) Control: А Survey // Proceedings of the 17th World Congress the International Federation of Automatic Control. Seoul, Korea. July 6—11. 2008. P. 3761—3775.

17. Gaiduk А. R. Nonlinear control systems design by transformation method // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 12. С. 755—761. DOI: 10/17587.19.755-761

18. Гайдук А. Р. Методы синтеза нелинейных систем управления (квазилинейный подход). СПб.: Лань, 2025. 288 с.

19. Mita T. Design of a servo-sensitive observer // Int. J. Control. 1975. Vol. 22, N. 2. P. 215—227.

20. Гайдук А. Р. Математические методы анализа динамических систем. Saarbrücken: Lap Lambert Academic Publishing, 2015. 281 p.

21. Gaiduk A. R., Medvedev M. Yu., Pshikhopov V. Kh. Design Method of Quasilinear Nonaffine Nonlinear Control Systems of General Structure // IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, 2025. Vol. 22. P. 20208—20220. DOI: 10.1109/TASE.2025.3599894

22. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

23. Иванов В. А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. Под ред. Б. К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971. 808 c.

24. Тютиков В. В., Тарарыкин С. В. Робастное управление технологическими объектами. Иваново: Изд-во ИГЭУ, 2006. 256 с.

25. Гришин А. А., Ленский А. В., Охоцимский Д. Е. и др. О синтезе управления неустойчивым объектом. Перевернутый маятник // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 14—24.

26. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.