Синтез оптимального следящего управления на конечном интервале времени для нелинейных систем на основе SDC-метода

Рассматривается задача синтеза оптимального следящего управления для нелинейных систем на конечном интервале времени. При этом используется представление системы в форме пространства состояний с матрицами, коэффициенты которых зависят от состояния (state-dependent coefficients, SDC). Проблема поиска решения для задачи слежения на конечном интервале времени в нелинейной SDC-постановке связана с поиском решения матричного дифференциального уравнения Риккати и дифференциального уравнения для вспомогательного вектора прямой связи, начальные условия для которых обычно задаются на правом конце. Типовой подход к решению таких задач использует интегрирование этих уравнений в обратном направлении (справа налево), где для расчета SDC-матриц системы требуется информация о переменных состояния системы и управления, которая без применения дополнительных мер не доступна. Для преодоления указанной проблемы неизвестности вектора состояния при интегрировании "справа налево" в данной статье предложен подход к синтезу, основанный на выводе решения через соответствующие дифференциальные уравнения для матрицы Риккати и вспомогательного вектора, начальные условия для которых однозначно задаются на левом конце временного интервала благодаря применению специального преобразования Риккати, отличного от типового. Это позволяет рассчитать управление интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений в прямом времени, что снимает проблему неизвестности вектора состояния. Предложенный подход протестирован на академическом примере осциллятора Ван дер Поля, для которого дополнительно выполнено исследование результативности предложенного метода в сравнении с наиболее популярными существующими подходами. Результаты компьютерного моделирования подтвердили преимущество предложенного метода как с точки зрения терминальной точности слежения за задающим сигналом, так и с точки зрения среднеквадратической ошибки слежения.

1. Berkovitz L. D., Medhin N. G. Nonlinear optimal control theory. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2013. 392 p.

2. Ashchepkov L. T., Dolgy D. V., Kim T., Agarwal R. P. Optimal control. Springer Cham, 2021. 251 p.

3. Nekoo S. R. Tutorial and review on the state-dependent Riccati equation // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 8, N. 2. P. 109—166. URL: https://doi.org/10.5890/JAND.2019.06.001.

4. Çimen T. Survey of state-dependent Riccati equation in nonlinear optimal feedback control synthesis // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2012. Vol. 35, N. 4. P. 1025—1047. URL: https://doi.org/10.2514/1.55821.

5. Çimen T. Systematic and effective design of nonlinear feedback controllers via the state-dependent Riccati equation (SDRE) method // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34, N. 1. P. 32—51. URL: https://doi.org/10.1016/J.ARCONTROL.2010.03.001.

6. Çimen T., Banks S. P. Global optimal feedback control for general nonlinear systems with nonquadratic performance criteria // Systems & Control Letters. 2004. Vol. 53, N. 5. P. 327—346. URL: https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2004.05.008.

7. Topputo F., Miani M., Bernelli-Zazzera F. Optimal selection of the coefficient matrix in state-dependent control methods // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2015. Vol. 38, N. 5. P. 861—873. URL: https://doi.org/10.2514/1.G000136.

8. Topputo F., Bernelli-Zazzera F. Approximate solutions to nonlinear optimal control problems in astrodynamics // ISRN Aerospace Engineering. 2013. Vol. 2013. P. 1—7. URL: http:// dx.doi.org/10.1155/2013/950912.

9. Pearson J. D. Approximation methods in optimal control I. Sub-optimal control // International Journal of Electronics. 1962. Vol. 13, N. 5. P. 453—469.

10. Korayem M. H., Nekoo S. Finite-time state-dependent Riccati equation for time-varying nonaffine systems: Rigid and flexible joint manipulator control // ISA Transactions. 2015. Vol. 54. P.125—144. URL: https://doi.org/10.1016/j.isatra.2014.06.006.

11. Heydari A., Balakrishnan S. N. Closed-form solution to finite-horizon suboptimal control of nonlinear systems // Int. J. Robust. Nonlinear Control. 2015. Vol. 25, N. 15. P. 2687—2704.

12. Korayem M. Н., Nekoo S. R. Nonlinear optimal control via finite time horizon state-dependent Riccati equation // In 2014 second RSI/ISM international conference on robotics and mechatronics. 2014. P. 878—883. URL: https://doi.org/10.1109/ICRoM.2014.6991015.

13. Kabanov А. A. Modified SDRE Method for Finitetime Nonlinear Optimal Control Problem // Proceedings 2022 International Russian Automation Conference (RusAutoCon). Sochi, Russia, 5-11 Sept. 2022, P. 639—643. URL: http://dx.doi.org/10.1109/RusAutoCon54946.2022.9896380.

14. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 521 с.

15. Квакернаак Х., Сиван P. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 456 с.

16. Naidu D. S. Optimal control systems. Electrical Engineering Handbook. Florida, Boca Raton: CRC Press, 2003. 275 p.

17. Lewis F. L., Vrabie D. L., Syrmos V. L. Optimal control, 3rd ed. Hoboken, NJ: Wiley, 2012. 560 p.

18. Korayem M. Н., Nekoo S. R. State-dependent differential Riccati equation to track control of time-varying systems with state and control nonlinearities // ISA Transactions. 2015. Vol. 57. P. 117—135. URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.isatra.2015.02.008.

19. Barbieri E., Alba-Flores R. On the innite-horizon LQ tracker // Syst Control Lett. 2000. Vol. 40, N. 2. P. 77—82. URL: http://dx.doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00004-9.

20. Alba-Flores R., Barbieri E. Real-time infinite horizon linear-quadratic tracking controller for vibration quenching in flexible beams // in Proc. 2006 IEEE Int. Conf. Syst., Man, Cybern., Taipei, Taiwan, Oct. 2006. P. 38—43.

21. Khamis A., Naidu D. S. Nonlinear optimal tracking with incomplete state information using finite-horizon State Dependent Riccati Equation (SDRE) // 2014 American Control Conference. Presented at the 2014 American Control Conference — ACC 2014, IEEE, Portland, OR, USA. P. 2320—2325. URL: https://doi.org/10.1109/ACC.2014.6858589.

22. Makarov D. A. Synthesis of control and state observer for weakly nonlinear systems based on the pseudo-linearization technique // Aut. Control Comp. Sci. 2019. Vol. 53. P. 823—829.

23. Mufti I. H., Chow C. K., Stock F. T. Solution of ill-conditioned linear two-point boundary value problems by the Riccati transformation // SIAM Rev. 1969. Vol. 11, N. 4. P. 616—619.

24. Sannuti P., Wason Н. Singular perturbation analysis of cheap control problems // The 22nd IEEE Conference on Decision and Control. Presented at the The 22nd IEEE Conference on Decision and Control, IEEE. 1983. P. 231—236.

25. Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications (1st ed.). CRC Press, 2001. 326 p.

26. Fossen T. I. Guidance and control of ocean vehicles. New York: John Wiley and Sons, 1999. 494 p.