Численные методы контроля редких событий в нелинейных стохастических системах

Аннотация

Рассматриваются вопросы разработки численных методов анализа больших уклонений для контроля редких событий в нелинейных стохастических системах. Большие уклонения управляемого процесса от некоторого штатного состояния являются основой прогнозирования наступления критической ситуации (редкого события). Задача прогнозирования сводится к задаче оптимального управления Лагранжа—Понтрягина. Представленный в статье подход для решения задачи Лагранжа—Понтрягина отличается от подхода, использованного ранее для линейных и нелинейных систем, тем, что он использует управление в форме обратной связи. При этом в нелинейном случае используются приближенные методы расчета, основанные на представлении модели системы в форме пространства состояний, где коэффициенты матриц зависят от состояния системы (методы State-Dependent Coefficients, SDC). В статье использованы два SDC-метода — метод зависящего от состояния уравнения Риккати (state-dependent Riccati equation, SDRE) и метод асимптотической последовательности уравнений Риккати (asymptotic sequence of Riccati equations, ASRE). В рассматриваемой постановке эти методы позволяют получить численно-аналитическое решение, удобное для реализации в режиме реального времени. На основе разработанных методов анализа больших уклонений представлены алгоритмы оценки вероятности наступления редкого события для нелинейной стохастической системы. Численная применимость разработанного подхода в настоящей работе показана на примере модели ФитцХью—Нагумо (ФХН) для анализа переключения между режимами возбудимости. Результаты моделирования вскрыли дополнительную проблему, связанную с так называемой задачей параметризации SDC-матриц системы. Действительно, можно было бы ожидать, что различные SDC-матрицы приводят к одному и тому же результату, но практические примеры показывают, что это не так. Поскольку использование разных представлений для SDC-матриц дает разные результаты в терминах траектории системы и функционала качества, то выбор матриц предложено осуществлять на каждой итерации алгоритма так, чтобы обеспечить условия разрешимости задачи Лагранжа—Понтрягина.