Численные методы контроля редких событий в нелинейных стохастических системах

Рассматриваются вопросы разработки численных методов анализа больших уклонений для контроля редких событий в нелинейных стохастических системах. Большие уклонения управляемого процесса от некоторого штатного состояния являются основой прогнозирования наступления критической ситуации (редкого события). Задача прогнозирования сводится к задаче оптимального управления Лагранжа—Понтрягина. Представленный в статье подход для решения задачи Лагранжа—Понтрягина отличается от подхода, использованного ранее для линейных и нелинейных систем, тем, что он использует управление в форме обратной связи. При этом в нелинейном случае используются приближенные методы расчета, основанные на представлении модели системы в форме пространства состояний, где коэффициенты матриц зависят от состояния системы (методы State-Dependent Coefficients, SDC). В статье использованы два SDC-метода — метод зависящего от состояния уравнения Риккати (state-dependent Riccati equation, SDRE) и метод асимптотической последовательности уравнений Риккати (asymptotic sequence of Riccati equations, ASRE). В рассматриваемой постановке эти методы позволяют получить численно-аналитическое решение, удобное для реализации в режиме реального времени. На основе разработанных методов анализа больших уклонений представлены алгоритмы оценки вероятности наступления редкого события для нелинейной стохастической системы. Численная применимость разработанного подхода в настоящей работе показана на примере модели ФитцХью—Нагумо (ФХН) для анализа переключения между режимами возбудимости. Результаты моделирования вскрыли дополнительную проблему, связанную с так называемой задачей параметризации SDC-матриц системы. Действительно, можно было бы ожидать, что различные SDC-матрицы приводят к одному и тому же результату, но практические примеры показывают, что это не так. Поскольку использование разных представлений для SDC-матриц дает разные результаты в терминах траектории системы и функционала качества, то выбор матриц предложено осуществлять на каждой итерации алгоритма так, чтобы обеспечить условия разрешимости задачи Лагранжа—Понтрягина.

1. Grafke T., Vanden-Eijnden E. Numerical computation of rare events via large deviation theory // Chaos. 2019. Vol. 29. Paper no. 063118.

2. Sapsis T. P. New perspectives for the prediction and statistical quantification of extreme events in high-dimensional dynamical systems // Philosophical Transactions of the Royal Society A. 2018. Vol. 376. Paper no. 20170133.

3. Dubovik S., Kabanov A. Profiles of critical states in diagnostics of controlled processes // MATEC Web of Conferences. 2018. Vol. 224. Paper no. 04024.

4. Дубовик С. А. Асимптотическая семантизация данных в системах управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, № 8. С. 461—471.

5. Kabanov A. A., Dubovik S. A. Methods of modeling and probabilistic analysis of large deviations of dynamic systems // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1661. Paper no. 012044.

6. Çimen T. State-dependent Riccati equation (SDRE) control: a survey // IFAC Proceedings Volumes. 2008. Vol. 41. P. 3761—3775.

7. Çimen T. Survey of state-dependent Riccati equation in nonlinear optimal feedback control synthesis // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2012. Vol. 35. P. 1025—1047.

8. Çimen T., Banks S. P. Global optimal feedback control for general nonlinear systems with nonquadratic performance criteria // Systems & Control Letters. 2004. Vol. 53. P. 327—346.

9. Topputo F., Miani M., Bernelli-Zazzera F. Optimal selection of the coefficient matrix in state-dependent control methods // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2015. Vol. 38. P. 861—873. https://doi.org/10.2514/1.G000136.

10. Heydari A., Balakrishnan S. N. Closed-form solution to finitehorizon suboptimal control of nonlinear systems // International Journal of Robust and Nonlinear Control. 2014. Vol. 25. P. 2687—2704. https://doi.org/10.1002/rnc.3222.

11. Izhikevich E. M. Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting. Cambridge: Computational neuroscience. MIT Press, 2007. 464 p.

12. Bashkirtseva I., Ryashko L. Analysis of excitability for the FitzHugh-Nagumo model via a stochastic sensitivity function technique // Physical Review E. 2011. Vol. 83. Paper no. 061109.

13. Doss C., Thieullen M. Oscillations and random perturbations of a FitzHugh-Nagumo system // arXiv:0906.2671 2009 (preprint).

14. Freidlin M. I., Wentzell A. D. Random perturbations of dynamical systems, 3. ed. Heidelberg: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer, 2012. 460 p.

15. Bryson A. E., Ho Y.-C. Applied optimal control: optimization, estimation, and control. New York: Taylor & Francis, 1975. 482 p.

16. Bachar M., Batzel J., Ditlevsen S. Stochastic biomathematical models, Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2013. 206 p.

17. Heinrich M., Dahms T., Flunkert V., Teitsworth S. W., Schöll E. Symmetry-breaking transitions in networks of nonlinear circuit elements // New Journal of Physics. 2010. Vol. 12. paper no. 113030.

18. Nash M. P., Panfilov A. V. Electromechanical model of excitable tissue to study reentrant cardiac arrhythmias // Progress in Biophysics and Molecular Biology. 2004. Vol. 85. P. 501—522.

19. Ganopolski A., Rahmstorf S. Abrupt glacial climate changes due to stochastic resonance // Physical Review Letters. 2002. Vol. 88. Paper no. 038501.

20. Plotnikov S. A., Fradkov A. L. Controlled synchronization in two hybrid FitzHugh-Nagumo systems // IFAC-PapersOnLine.2016. Vol. 49, Iss. 14. P. 137—141.