Об устойчивости по части переменных нелинейных дискретных систем со случайными параметрами

Рассматривается нелинейная дискретная (конечно-разностная) система уравнений, подверженных воздействию случайного процесса типа "белого" шума, являющаяся разностным аналогом систем стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито. Повышенный интерес к таким системам связан с их использованием в цифровых системах управления, в финансовой математике, а также с численным решением систем стохастических дифференциальных уравнений. Задачи устойчивости относятся к основным задачам качественного анализа и синтеза рассматриваемых систем. При этом в основном изучается обладающая большой общностью задача устойчивости нулевого положения равновесия, в рамках которой устойчивость анализируется по отношению ко всем переменным, определяющим состояние системы. Для ее решения разработан дискретно-стохастический вариант метода функций Ляпунова. Центральным здесь является введенное в работах школы Н. Н. Красовского понятие усредненной конечной разности функции Ляпунова, для вычисления которой достаточно знать лишь правые части системы и вероятностные характеристики случайного процесса. В данной работе для рассматриваемого класса систем дается постановка более общей задачи устойчивости нулевого положения равновесия: не по всем, а по заданной части определяющих его переменных. Для случая детерминированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений постановка этой задачи восходит к классическим работам А. М. Ляпунова и В. В. Румянцева. Для решения поставленной задачи используется дискретно-стохастический вариант метода функций Ляпунова при соответствующей конкретизации требований к функциям Ляпунова. В целях расширения возможностей используемого метода наряду с основной функцией Ляпунова рассматривается дополнительная (векторная, вообще говоря) вспомогательная функция для корректировки области, в которой строится основная функция Ляпунова.

1. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, Вып. 5. С. 809—823.

2. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 200 c.

3. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. 368 c.

4. Ахметкалиев T. О связи между устойчивостью стохастических систем разностных и дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1, № 8. С. 1016—1026.

5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 c.

6. Константинов В. М. Об устойчивости стохастических разностных систем // Проблемы передачи информации. 1970. Т. 6, Вып. 1. С. 81—86.

7. Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994. 304 с.

8. Ажмяков В. В., Пятницкий Е. С. Нелокальный синтез систем стабилизации дискретных стохастических объектов управления // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 68—78.

9. Барабанов И. Н. Построение функций Ляпунова для дискретных систем со случайными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1995. № 11. С. 31—41.

10. Jian X. S., Tian S. P., Zhang T. L, Zhang W. H. Stability and Stabilization of Nonlinear Discrete-Time Stochastic Systems // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2019. Vol. 29, N. 18. P. 6419—6437.

11. Qin Y., Cao M., Anderson B. D. O. Lyapunov Criterion for Stochastic Systems and its Applications in Distributed Computation // IEEE Trans. Autom. Control. 2020. Vol. 65, N. 2. P. 546—560.

12. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 c.

13. Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный Мир, 2001. 320 с.

14. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.

15. Воротников В. И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3—59.

16. Mao X. R. Stochastic Differential Equations. 2 ed. Oxford: Woodhead Publ., 2008. 440 p.

17. Rajpurohit T., Haddad W. M. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback Control for Stochastic Dynamical Systems // J. Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2017. Vol. 139, N. 9. Paper DS-15-1602.

18. Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной устойчивости по вероятности нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2019. № 5. С. 86—98.

19. Haddad W. M, Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach. Princeton: Princeton University Press, 2008. 976 p.

20. Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2017. Т. 18, № 6. С. 371—375.

21. Воротников В. И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных "частичных" положений равновесия нелинейных динамических систем // Доклады РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 332—337.

22. Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. Т. 51, Вып. 5. С. 23—31.

23. Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. Об устойчивости по части переменных "частичных" положений равновесия систем с последействием // Математические заметки. 2014. Т. 96, Вып. 4. С. 496—503.

24. Юдаев Г. С. Об устойчивости стохастических разностных систем // Изв. Вузов. Математика. 1979. № 8. С. 74—78.

25. Phillis Y. A. y-Stability and Stabilization in the Mean of Discrete-Time Stochastic Systems // Int. J. Control. 1984. Vol. 40, N. 1. P. 149—160.

26. Шаров В. Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части переменных // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 63—71.

27. Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448 p.

28. Ignatyev O. Partial Asymptotic Stability in Probability of Stochastic Differential Equations // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol. 79, N. 5. P. 597—601.

29. Зуев А. Л., Игнатьев А. О., Ковалев А. М. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Киев: Наукова Думка, 2013. 430 с.

30. Kao Y., Wang C., Zha F., Cao H. Stability in Mean of Partial Variables for Stochastic Reaction—Diffusion Systems with Markovian Switching // J. of the Franklin Institute. 2014. Vol. 351, N. 1. P. 500—512.

31. Socha L., Zhu Q. X. Exponential Stability with Respect to Part of the Variables for a Class of Nonlinear Stochastic Systems with Markovian Switching // Math. Comp. Simul. 2019. Vol. 155. P. 2—14.

32. Socha L. Stability and Positivity with Respect to Part of the Variables for Positive Markovian Jump Systems // Bull. Polish Academy of Sciences: Technical Sciences. 2019. Vol. 67, N. 4. P. 769—775.

33. Sultanov O. Capture into Parametric Autoresonance in the Presence of Noise // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019. Vol. 75. P. 14—21.

34. Zuyev A., Vasylieva I. Partial Stabilization of Stochastic Systems with Application to Rotating Rigid Bodies // IFACPapersOnLine. 2019. Vol. 52, N. 16. P. 162—167.