Применение структур для оценки характеристических показателей Ляпунова систем с периодическими коэффициентами

Рассмотрена задача идентификации характеристических показателей Ляпунова динамических систем с периодическими коэффициентами в условиях неопределенности. Идентификация характеристических показателей Ляпунова выполнена на основе анализа специального класса структур, описывающих динамику их изменения. Описан метод получения структур. Введено понятие адекватности полученных оценок характеристических показателей Ляпунова. Критерий адекватности основан на анализе области определения структур. Получено решение задачи определения области, которой принадлежит множество оценок характеристических показателей Ляпунова. Пред- ложен метод оценки порядка системы. Он основан на анализе свойств почти периодических функций по Бору и предложенных структур. Рассмотрен случай, когда линеалы, соответствующие характеристическим показателям Ляпунова, могут пересекаться. Это приводит к бесконечному спектру характеристических показателей Ляпунова. Определена верхняя оценка для наименьшего показателя и граница подвижности для старшего показателя, и получено множество показателей системы. Предложен графический критерий, основанный на анализе свойств специального класса структур, для оценки адекватности оценок характеристических показателей Ляпунова. Для проверки множества полученных оценок применен метод гистограмм. Дано расширение почти периодических функций по Бору для решения рассматриваемой задачи. Получена оценка порядка системы на основе анализа структуры.

1. Thamilmaran K., Senthilkumar D. V., Venkatesan A., Lakshmanan M. Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit // Physical Review E. 2006. Vol. 74, N. 9. P. 036205.

2. Porcher R., Thomas G. Estimating Lyapunov exponents in biomedical time series // Physical Review E. 2001. Vol. 64, N. 1. P. 010902(R).

3. Hołyst J. A., Urbanowicz K. Chaos control in economical model by time-delayed feedback method // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. Vol. 287, N. 3—4. P. 587—598.

4. Macek W. M., Redaelli S. Estimation of the entropy of the solar wind flow. Physical Review E. 2000. Vol. 62, N. 5. P. 6496—6504.

5. Skokos Ch. The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation // Lect. Notes Phys. 2010. Vol. 790. P. 63—135.

6. Gencay R., Dechert W. D. An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system // Physica D. 1992. Vol. 59. P. 142—157.

7. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics /Eds D. A. Rand, L.-S. Young. Berlin: Springer-Verlag, 1980. Vol. 898. P. 366—381.

8. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica 16D. 1985. N. 16. P. 285—301.

9. Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets Source // Physica D. 1993. Vol. 65, Iss. 1-2. P. 117—134.

10. Беспалов А. В., Поляхов Н. Д. Сравнительный анализ методов оценки первого показателя Ляпунова // Современные проблемы науки и образования. 2016. № 6. 8 с.

11. Передерий Ю. А. Метод оценки спектра ляпуновских показателей по временной реализации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 1. С. 99—104.

12. Moskalenko O., Koronovskii A. A., Hramov A. E. Lyapunov exponent corresponding to enslaved phase dynamics: Estimation from time series // Physical review E 92. 2015. Р. 012913.

13. Cvitanovi´c P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G. Chaos: Classical and Quantum. ChaosBook.org version16.0. 2017.

14. Филатов В. В. Структурные характеристики аномалий геофизических полей и их использование при прогнозе // Геофизика, геофизическое приборостроение. 2013. № 4(16). С. 34—41.

15. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.

16. Москаленко О. И., Павлов А. С. Способ оценки нулевого условного показателя Ляпунова по временному ряду // Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. Вып. 12. С. 66—72.

17. Karabutov N. Structural methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system // International journal of intelligent systems and applications. 2015. Vol. 7, N. 10. P. 1—11.

18. Карабутов Н. Н. Структуры в задачах идентификации: Построение и анализ. М.: URSS/Ленанд. 2018. 312 с.

19. Karabutov N. About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty // Global journal of science frontier research: (A) Physics and Space Science. 2018. Vol. 18, Iss. 11. P. 51—61.

20. Карабутов Н. Н. Структурная идентификация статических объектов: Поля, структуры, методы. М.: URSS. 2011. 152 с.

21. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

22. Karabutov N. About Lyapunov exponents identification for systems with periodic coefficients // International journal of intelligent systems and applications. 2018. Vol. 10, N. 11. P. 1—10.