Применение многомерной линеаризации в синтезе квазиоптимальных регуляторов по функционалу обобщенной работы

Исследуется решение  задачи  аналитического конструирования оптимальных  регуляторов  (АКОР)  в  постановке А. А. Красовского  для устойчивых многомерных  объектов, описываемых  матричным  дифференциальным уравнением  с полиномиальными нелинейностями от фазовых  координат. Исследуемый  класс  объектов управления, получивших название  полиномиальных, достаточно  широк для приложений: указанные модели используются для описания движения систем  самой различной  природы — устройств  электромеханики, химических реакторов, промышленных  объектов  с рециклом, биологических и экологических систем  и др.

Для решения указанной задачи  АКОР  наиболее  приспособлен  метод степенных  рядов,  который  в отличие  от других  позволяет  найти  законы  управления в наиболее  широкой  области  фазового  пространства объекта.  Однако  его реализация сопряжена  с выполнением большого объема вычислений, является  в меньшей  степени  формализованной и соответственно приспособленной  к программированию. В данной  работе предложен  метод синтеза  квазиоптимальных регуляторов, который  во многом ослабляет отмеченные  недостатки метода степенных  рядов за счет использования процедуры многомерной линеаризации описания полиномиальных объектов, осуществляемой за счет расширения пространства состояния объекта  новыми  координатами, представляющими  собой произведения исходных  фазовых координат, и применения аппарата  теории матриц  с кронекеровским (прямым)  произведением. Предлагаемый метод синтеза  позволяет  найти  в форме полиномиальной  функции  приближенное  решение  задачи  АКОР  с высокой  точностью, причем  его  реализация  отличается  предельной  простотой  вследствие   использования  в  основном  известного программного  обеспечения решения линейно-квадратичных задач оптимального управления.

Точность  решения задачи  АКОР  определяется  точностью  выбираемой  для исследуемого  объекта  квазилинеаризованной  модели  соответствующей степени  (k  =  2, 3,...). Подчеркнем, что  в  линеаризованной модели  k-й степени учитываются полиномиальные  составляющие  k-й степени  описания  объекта  управления.  В  связи  с  этим  предложенный  метод  синтеза  обеспечивает   точность  решения  не  меньшую, чем  стандартный метод  степенных  рядов  с удержанием  его членов  до k-й степени  включительно. Однако  точность  разработанного  метода  синтеза, как  правило, существенно  выше вследствие  учета  при конструировании регулятора функциональной матрицы  используемой квазилинеаризованной модели, зависящей  от расширенного  вектора  состояния объекта, содержащего  произведения фазовых  координат  исходного  объекта.

1. Красовский А. А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

2. Колесников А. А. и др. Современная прикладная теория управления: В 3 т. Москва; Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

3. Портер В. А. Обзор теории нелинейных систем // ТИИЭР. 1976. Т. 64, № 1. С. 23—30.

4. Сейдж Э. П., Уайт Ч. С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

5. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 576 с.

6. Красовский А. А., Буков В. И., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977. 272 с.

7. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987. 232 с.

8. Филимонов Н. Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 12. С. 2—10.

9. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М.: Наука, 1980. 376 с.

10. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 269 с.

11. Ловчаков В. И., Ловчаков Е. В., Сухинин Б. В. Метод многомерной линеаризации полиномиальных систем управления // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 18—26.

12. Ловчаков В. И., Ловчаков Е. В., Шибякин О. А. Многомерная линеаризация объектов управления с полиномиальными нелинейностями // Journal of Advanced Research in Technical Science. 2018. Iss. 12 (в печати).

13. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциона льные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.

14. Ловчаков В. И., Сухинин Б. В., Фомичев А. А., Феофилов Е. И. Основы теории синтеза оптимальных систем управления электротехническими объектами: Уч. пособие с грифом УМО специальности. Тула, Издательство ТулГУ, 2009. 160 с.