О методе декомпозиции при построении внешних оценок предельных множеств достижимости и 0-управляемости для линейных почти периодических дискретных систем

Решается задача построения и оценивания предельных множеств достижимости и 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и геометрическими ограничениями на управление, где множество достижимости состоит из тех терминальных состояний, в которые систему можно перевести из начала координат за любое конечное число шагов, а множество 0-управляемости состоит из тех начальных состояний, из которых систему можно перевести в начало координат за любое конечное число шагов. Для класса периодических систем получается построить искомые множества явным образом. Если рассматриваемая линейная система является почти периодической, т. е. ее матрица обладает только комплексными некратными собственными значениями, удается получить внешние оценки предельных множеств достижимости и 0-управляемости произвольного порядка точности в смысле расстояния Хаусдорфа. Особенностью данных оценок является то, что скорость их сходимости не зависит от спектрального радиуса матрицы системы, а определяется лишь точностью аппроксимации почти периодических уравнений динамики некоторыми периодическими. Эффективность разработанных теоретических методов демонстрируется на примере системы демпфирования высотного сооружения, расположенного в зоне сейсмической активности. В качестве физической модели рассматривается последовательность материальных точек, связанных между собой упругими и демпфирующими связями. Управление предполагается кусочно-постоянным и ограниченным по мощности, что позволяет дискретизировать изначально непрерывную систему. Для полученной таким образом дискретной системы строится внешняя оценка предельного множества достижимости. Результаты расчетов представлены численно и графически.

1. Ибрагимов Д. Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. № 3. C. 3—25. DOI: 10.1134/S0005231019030012.

2. Никольский М. С. Линейные управляемые объекты с фазовыми ограничениями. Приближенное вычисление множеств достижимости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 162—168. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-162-168.

3. Максимов В. П. О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 141—151. DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-141-151.

4. Colonius F., Cossich J. A. N., Santana A. J. Controllability properties and invariance pressure for linear discrete-time systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2022. Vol. 34. P. 5—22. DOI: 10.1007/s10884-021-09966-4.

5. Комаров В. А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. 1988. Т. 185. С. 116—125.

6. Kuntsevich V. M., Kurzhanski A. B. Attainability Domains for Linear and Some Classes of Nonlinear Discrete Systems and Their Control // J. Autom. Inform. Sci. 2010. Vol. 42, N. 1. P. 1—18. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i1.10.

7. Guseinov K. G. Approximation of the Attainable Sets of the Nonlinear Control Systems with Integral Constraint on Controls // Nonlinear Analysis. 2009. Vol. 71, N. 1—2. P. 622—645. DOI: 10.1016/j.na.2008.10.097.

8. Kostousova E. K. External Polyhedral Estimates of Reachable Sets of Discrete-Time Systems with Integral Bounds on Additive Terms // Mathematical Control and Related Fields. 2021. Vol. 11, N. 3. P. 625—641. DOI: 10.3934/mcrf.2021015.

9. Corradini M. L., Cristofaro A., Giannoni F., Orlando G. Estimation of the Null-Controllable Region: Discrete-Time Plants // Control Systems with Saturating Inputs. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Springer. 2012. Vol. 424. P. 33—52. DOI: 10.1007/978-1-4471-2506-8_3.

10. Wan J., Vehí J., Luo N., Herrero P. Control of Constrained Nonlinear Uncertain Discrete-Time Systems via Robust Controllable Sets: a Modal Interval Analysis Approach // ESAIM Control Optimisation and Calculus of Variations. 2009. Vol. 15, N. 1. P. 189—204. DOI: 10.1051/cocv:2008025.

11. Kuntsevich A. V. Invariant Sets (Limit Cycles) of Families of Autonomous Nonlinear Discrete Systems // J. Autom. Inform. Sci. 2013. Vol. 45, N. 2. P. 24—32. DOI: 10.1615/JAutomat-InfScien.v45.i2.30.

12. Benvenuti L., Farina L. The Geometry of the Reachability Set for Linear Discrete-Time Systems with Positive Controls // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2006. Vol. 28, N. 2. P. 306—325. DOI: 10.1137/040612531.

13. Fisher M. E., Gayek J. E. Estimating Reachable Sets for Two-Dimensional Linear Discrete Systems // J. Optim. Theory Appl. 1988. Vol. 56, N. 1. P. 67—88. DOI: 10.1007/BF00938527.

14. Берендакова А. В., Ибрагимов Д. Н. О методе построения внешних оценок предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2023. № 2. С. 3—34. DOI: 10.31857/S0005231023020010.

15. Simkina A. V., Ibragimov D. N., Kibzun A. I. On the Method of Numerical Simulation of Limit Reachable Sets for Linear Discrete-Time Systems with Bounded Control // Вестник ЮурГУ ММП. 2024. Т. 17, № 3. C. 46—56. DOI: 10.14529/mmp240304.

16. Ибрагимов Д. Н., Новожилкин Н. М., Порцева Е. Ю. О достаточных условиях оптимальности гарантирующего управления в задаче быстродействия для линейной нестационарной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2021. № 12. С. 48—72. DOI: 10.31857/S0005231021120047.

17. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.

18. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 416 с.

19. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

20. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 280 с.