Решается задача построения и оценивания предельных множеств достижимости и 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и геометрическими ограничениями на управление, где множество достижимости состоит из тех терминальных состояний, в которые систему можно перевести из начала координат за любое конечное число шагов, а множество 0-управляемости состоит из тех начальных состояний, из которых систему можно перевести в начало координат за любое конечное число шагов. Для класса периодических систем получается построить искомые множества явным образом. Если рассматриваемая линейная система является почти периодической, т. е. ее матрица обладает только комплексными некратными собственными значениями, удается получить внешние оценки предельных множеств достижимости и 0-управляемости произвольного порядка точности в смысле расстояния Хаусдорфа. Особенностью данных оценок является то, что скорость их сходимости не зависит от спектрального радиуса матрицы системы, а определяется лишь точностью аппроксимации почти периодических уравнений динамики некоторыми периодическими. Эффективность разработанных теоретических методов демонстрируется на примере системы демпфирования высотного сооружения, расположенного в зоне сейсмической активности. В качестве физической модели рассматривается последовательность материальных точек, связанных между собой упругими и демпфирующими связями. Управление предполагается кусочно-постоянным и ограниченным по мощности, что позволяет дискретизировать изначально непрерывную систему. Для полученной таким образом дискретной системы строится внешняя оценка предельного множества достижимости. Результаты расчетов представлены численно и графически.