Синтез статических регуляторов по выходу с использованием градиентных потоков: АКОР и МНК-модальная аппроксимация

Синтез регуляторов по выходной измеряемой переменной считается более трудной задачей по сравнению с синтезом по вектору состояния и синтезом динамических регуляторов. Эта проблема в общем виде не решена до сих пор. В данной работе рассматривается случай, когда не выполняются ни необходимые (mp ≥ n), ни достаточные (mp > n) условия для синтеза модальных регуляторов по выходу, где m — число входов, p — число выходов, n — порядок системы. При этом исследуются два подхода к решению данной проблемы: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР) и модальная аппроксимация с использованием градиентных потоков. В первом случае решаются алгебраические уравнения Ляпунова и интегрируются градиентные уравнения. В этом случае всегда достигается экстремум (локальный или глобальный). Во втором подходе используются градиентные потоки на группе GL(n, R)ЅR^mЅp, где проводится модальная аппроксимация на основе метода наименьших квадратов (МНК-модальная аппроксимация) (mp < n) с выбором части желаемого спектра замкнутой системы. В этом случае оптимизация проводится до вхождения мод в малую окрестность желаемых мод. Для получения градиентных уравнений в обоих подходах выводятся градиенты целевых функций tr(M) от матричного аргумента. Подробно рассмотрены свойства функции tr(M) и правила нахождения ее градиента от матричного аргумента. Проверка полученных градиентных уравнений проводится на практическом примере для объекта 4-го порядка со слабо демпфированной динамикой с большой областью неопределенности параметров, где ставится задача синтеза робастного статического регулятора минимального (второго) порядка. Данная задача решена обоими методами с выполнением поставленных технических требований.

1. Brockett R. W. Dynamical Systems that Sort Lists, Diagonalize Matrices and Solve Linear Programming Problems // Lin. Alg. and Appl. 1991. Vol. 146. P. 79—91.

2. Brockett R. W. Least Squares Matching Problems // Lin. Alg. and Appl. 1989. Vol. 12—124. P. 761—777.

3. Helmke U., Moore J. B. Optimization and Dynamical Systems. Berlin: Springe, 1996. 403 p.

4. Absil P. A., Mahony R., Sepulchre R. Optimization Algorithms on Matrix Manifolds. Princeton: Princeton Univ. Press. 2008. 224 p.

5. Jiang D., Wang J. Least Squares Pole Assignment by Memoryless Output Feedback // Systems and Control Lettters.1996. Vol. 39, N. 1. P. 31—42.

6. Schulte-Herbruggen T., Glaser S. Y., Dirr G., Helmke U. Gradient Flows for Optimization and Quantum Control. Foundations and Applications. URL: http:arXiv:0802.4195v1[quantph]28Feb.2008.

7. Mahony R. E., Helmke U., Moore J. B. Gradient Algorithms for Principal Component Analysis // J. Austral. Math. Soc. Ser. В. 1996. Vol. 37. P. 430—450.

8. Yan W. Y., Teo K. L., Moore J. B. А Gradient Flow Approach to Computing LQ Optimal Output Feedback Gains // Proceeding American. Cont.Conf.San. Franc. Calif. 1993. P. 1266—1270.

9. Chan H. C., Lam J., Ho D. W. А Gradient Flow Approach to Robust Pole Assignment in Second-Order Systems // Proceeding 35 Conf. on Dec. and Control. Kobe. Japan. Dec. 1995. P. 4589—4590.

10. Jiang D., Wang J. Augmented Gradient Flows for on-line Robust Pole Assignment via State and Output Feedback // Automatica. 2002. Vol. 38. P. 279—286.

11. Willems J. C., Hesselink W. H. Generic properties of the pole placement problem // Proceedings of the 7th IFAC Congress, Helsinki Finland. 1978. P. 1725—1729.

12. Petersen K. B., Peders en M. S. The Matrix Cookbook. Version: November,15, 2012. 69 p. URL:http://matrixcookbook.com (дата обращения: 03 февраля 2022 г.).

13. Geering Н. P. On Calculating Gradient Matrices // IEEE Trans. Aut.Control. 1976. Vol. 21. P. 615—616.

14. Bellman R. Introduction to Matrix Analysis. NY: McCraw-Hill, 1970. 440 p.

15. Levine W. S., Athans M. On the Determination of the Optimal Constant Output Feedback Gains for Linear Multivariable Systems // IEEE Trans. Aut.Control. 1970. Vol. 15, N. 1. P. 44—48.

16. Hall В. C. Lie Groups, Lie Algebras and Representations. An Elementary Introduction. NY: Springer-Verlag, 2003. 354 p.

17. Curtis M. L. Matrix Groups. 2nd Edition. NY: Springer-Verlag, 1984. 210 p.

18. Трофимов В. В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ,1989. 359 с.

19. Краснощеченко В. И. Синтез робастного динамического Hinf регулятора низкого порядка с использованием линейных матричных неравенств и проекционных лемм // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 4. С. 219—231.

20. Краснощеченко В. И. Синтез динамических регуляторов по выходу с использованием функций модальной кластеризации в D-областях // Мехатроника, автоматизация, управление. 2023. Т.24, № 5. С. 227—238.