Метод синтеза квазиоптимальных регуляторов на основе многомерной линеаризации

Рассматривается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) в постановке А. А. Красовского для устойчивых многомерных объектов, описываемых матричным дифференциальным уравнением с полиномиальными нелинейностями от фазовых координат. Данный класс объектов управления, получивших название полиномиальных, достаточно широк для приложений: указанные модели используются для описания движения систем самой различной природы, например, электромеханических устройств, химических реакторов, промышленных объектов с рециклом, биологических и экологических систем и др.

Для решения указанной задачи АКОР в ранней работе автора предложен метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, который во многом уменьшает недостатки метода степенных рядов (большой объем операций с полиномами, неприспособленных к программированию) за счет использования процедуры многомерной линеаризации описания полиномиальных объектов. Эта процедура осуществляется за счет расширения пространства состояния объекта новыми координатами, представляющими собой произведения исходных фазовых координат, и применения аппарата теории матриц с кронекеровским (прямым) произведением. В данной работе осуществляется модификация этого метода синтеза систем за счет использования не полной, а сокращенной кронекеровской степени вектора состояния объекта и учета блочнодиагональной структуры матрицы параметров применяемой линеаризованной модели объекта, что обеспечивает дальнейшее многократное сокращения объема вычислений при синтезе систем управления.

Предлагаемый модифицированный метод синтеза позволяет найти в форме полиномиальной функции приближенное решение задачи АКОР с относительно высокой точностью, причем его реализация отличается предельной простотой вследствие использования в основном известного программного обеспечения для решения линейно-квадратичных задач оптимального управления (процедур решения матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра).

Особенности метода иллюстрируются на конкретном примере синтеза квазиоптимальной системы управления. 

1. Красовский А. А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. 712 c.

2. Современная прикладная теория управления. В 3 тт. / Под ред. А. А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

3. Портер В. А. Обзор теории нелинейных систем // ТИИЭР. 1976. Т. 64, № 1. С. 23—30.

4. Сейдж Э. П., Уайт Ч. С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

5. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 576 с.

6. Красовский А. А., Буков В. И., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977. 272 с.

7. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987. 232 с.

8. Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator // Int. J. Contr. Vol. 47, N. 4. 1998. P. 947—951.

9. Филимонов Н. Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 12. С. 2—10.

10. Ловчаков В. И., Ловчаков Е. В., Сухинин Б. В. Метод многомерной линеаризации полиномиальных систем управления // Изв. ТулГУ. Серия Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 18—26.

11. Ловчаков В. И. Применение многомерной линеаризации в синтезе квазиоптимальных регуляторов по функционалу обобщенной работы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, № 3. С. 131—142.

12. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 269 с.

13. Jelali M., Kroll A. Hydraulic servo-systems: Modelling, identification and control. Springer, 2002. 356 p.

14. Carravetta F., Germani A., Raimondi M. Polynomial Filtering for Linear Discrete Time Non-Gaussian Systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 1996. Vol. 34, N. 5. P. 1666—1690.

15. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.