Анализ устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями и распределенным запаздыванием

Одной из актуальных проблем современной теории управления является исследование устойчивости систем с переключениями режимов функционирования. Такие системы широко применяются для моделирования технологических процессов, систем автоматического регулирования, мехатронных систем и т. д. В последние годы они эффективно используются в задачах управления формациями мобильных агентов. Основным подходом к решению данной проблемы является прямой метод Ляпунова. Для семейств подсистем, соответствующих изучаемым гибридным системам, строятся или общие, или составные функции Ляпунова. Однако способы и алгоритмы нахождения таких функций хорошо разработаны только для линейных систем. Проблема анализа устойчивости нелинейных систем с переключениями исследована не достаточно хорошо. Следует заметить, что ее решение существенно усложняется в случае, когда рассматриваемые системы содержат запаздывание.

В данной статье изучается некоторый класс сложных систем с переключениями и распределенным запаздыванием, моделирующих взаимодействие линейных и нелинейных однородных подсистем. Указанные системы соответствуют критическому по Ляпунову случаю нескольких нулевых собственных чисел матрицы линеаризованной системы. Отметим также, что при определенных дополнительных ограничениях на нелинейности они представляют собой системы Лурье непрямого управления. Наличие распределенного запаздывания может быть обусловлено использованием ПИД регуляторов. Для рассматриваемых гибридных систем предлагаются новые подходы к построению функций Ляпунова—Разумихина и функционалов Ляпунова—Красовского, гарантирующих устойчивость при любом законе переключения. В случае, когда такие функции и функционалы подобрать не удается, с помощью составных функционалов определяются классы законов переключения, при которых сохраняется устойчивость. Эффективность разработанных подходов продемонстрирована на примере управляемой механической системы с ПИД регулятором. 

1. Васильев С. Н., Косов А. А. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 27—46.

2. Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston, MA: Birkhauser, 2003.

3. Moradvandi A., Lindeboom R. E. F., Abraham T., De Schut ter B. Models and methods for hybrid system identification: a systematic survey // IFAC-PapersOnLine. 2023. Vol. 56, N. 2. P. 95—107.

4. Еремин Е. Л., Смирнова С. А., Шеленок Е. А. Структурно-параметрический синтез гибридной периодической системы комбинированного управления многорежимным объектом в условиях неопределенности // Мехатроника, автоматизация, управление. 2024. Т. 25, № 9. С. 447—457.

5. Shorten R., Wirth F., Mason O., Wulf K., King C. Stability criteria for switched and hybrid systems // SIAM Rev. 2007. Vol. 49, N. 4. P. 545—592.

6. Aleksandrov A. Yu., Kosov A. A., Platonov A. V. On the asymptotic stability of switched homogeneous systems // Systems Control Letters. 2012. Vol. 61, N. 1. P. 127—133.

7. Александров А. Ю., Косов А. А., Чэнь Я. Об устойчивости и стабилизации механических систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. С. 5—17.

8. Aleksandrov A., Andriyanova N., Efimov D. Stability analysis of Persidskii time-delay systems with synchronous and asynchronous switching // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2022. Vol. 32, N. 6. P. 3266—3280.

9. Fridman E. Introduction to Time-delay Systems: Analysis and Control. Basel: Birkhauser, 2014.

10. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

11. Lefschetz S. Stability of Nonlinear Control Systems. New York: Academic Press, 1965.

12. Косов А. А., Козлов М. В. Об асимптотической устойчивости однородных сингулярных систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. 2019. № 3. С. 45—54.

13. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости и предельной ограниченности решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2023. Т. 59. № 4. С. 435—445.

14. Formal’sky A. M. On a modification of the PID controller // Dynamics and Control. 1997. Vol. 7, N. 3. P. 269—277.

15. Ананьевский И. М., Колмановский В. Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. C. 34—43.

16. Zhao C., Guo L. Towards a theoretical foundation of PID control for uncertain nonlinear systems // Automatica. 2022. Vol. 142. P. 110360.

17. Куликов В. В., Куцый Н. Н., Осипова Е. А. Параметрическая оптимизация ПИД регулятора с ограничением на основе метода сопряженных градиентов Полака—Поляка— Рибьера // Мехатроника, автоматизация, управление. 2023. Т. 24, № 5. С. 240—248.

18. Aleksandrov A., Efimov D., Fridman E. Stability of homogeneous systems with distributed delay and time-varying perturbations // Automatica. 2023. Vol. 153. P. 111058.

19. Rosier L. Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field // Systems Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467—473.