О методе построения множеств 0-управляемости для линейных систем с дискретным временем и суммарными ограничениями на управление

Рассматривается задача построения множеств 0-управляемости для стационарных линейных дискретных систем с суммарным ограничением на векторное управление, т. е. множеств тех начальных состояний, из которых систему можно перевести в начало координат за фиксированное число шагов. Для решения поставленной задачи введено обобщенное сложение по Минковскому выпуклых компактов. Исследованы основные свойства данной операции, в частности, продемонстрирована ее связь с классической суммой Минковского. Доказано, что каждое множество 0-управляемости может быть представлено в виде обобщенной суммы Минковского линейных преобразований множества ограничений на управляющие воздействия. На основе этого факта в явном виде построены выражения для опорной точки, опорной функции и нормального конуса множеств 0-управляемости. Сформулированы условия, при которых данные множества сохраняют компактность, выпуклость и относительно строгую выпуклость. Эффективность разработанных теоретических результатов опробована для трехмерной системы управления движением спутника. Предполагается, что космический аппарат является материальной точкой, движение которой происходит в малой окрестности круговой орбиты. Управление осуществляется двигателями малой тяги и имеет релейный характер, что позволяет рассматривать вектор состояния только в моменты смены режима управления. Для дискретизированной таким образом системы проведено численное моделирование множеств 0-управляемости для различных значений параметров. Результаты представлены графически.

1. Козорез Д. А., Красильщиков М. Н., Кружков Д. М., Сыпало К. И. Решение навигационной задачи при автономном выведении полезной нагрузки на геостационарную орбиту с помощью двигателя малой тяги // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 5. С. 106—118.

2. Малышев В. В., Красильщиков М. Н., Бобронников В. Т., Нестеренко О. П., Федоров А. В. Спутниковые системы мониторинга. Анализ, синтез и управление. М.: МАИ, 2000. 568 с.

3. Сиротин А. Н. Управляемость линейных дискретных систем с ограниченным управлениями (почти) периодическими возмущениями // АиТ. 2001. № 5. C. 53—64.

4. Kostousova E. K. External polyhedral estimates of reachable sets of discrete-time systems with integral bounds on additive terms // Mathematical Control and Related Fields. 2021. Vol. 11, N. 3. P. 625—641.

5. Каменев Г. К. Численное исследование эффективности методов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел. М.: Вычислительный центр РАН, 2010. 119 с.

6. Colonius F., Cossich J. A. N., Santana A. J. Controllability properties and invariance pressure for linear discrete-time systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2022. Vol. 34. P. 5—22.

7. Fucheng L., Mengyuan S., Usman Optimal preview control for linear discrete-time periodic systems // Mathematical Problems in Engineering. 2019. P. 1—11.

8. Ge S. S., Zhendong S., Lee T. H. Reachability and controllability of switched linear discrete-time systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46, N. 9. P. 1437—1441.

9. Heemels W. P. M. H., Camlibel M. K. Null controllability of discrete-time linear systems with input and state constraints // 47th IEEE Conference on Decision and Control. Cancun. 2008. P. 3487—3492.

10. Kaba M. D., Camlibel M. K. A spectral characterization of controllability for linear discrete-time systems with conic constraints // SIAM Journal on Control and Optimization. 2015. Vol. 53, N. 4. P. 2350—2372.

11. Benvenuti L., Farina L. The geometry of the reachability set for linear discrete-time systems with positive controls // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2006. Vol. 28, N. 2. P. 306—325.

12. Darup M. S., Mönnigmann M. On general relations between null-controllable and controlled invariant sets for linear constrained systems // 53rd IEEE Conference on Decision and Control. Los Angeles. 2014. P. 6323—6328.

13. Точилин П. А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 11. С. 1503—1515.

14. Kuntsevich V. M., Kurzhanski A. B. Attainability Domains for Linear and Some Classes of Nonlinear Discrete Systems and Their Control // J. Autom. Inform. Sci. 2010. Vol. 42, N. 1. P. 1—18.

15. Ибрагимов Д. Н. О задаче быстродействия для класса линейных автономных бесконечномерных систем с дискретным временем, ограниченным управлением и вырожденным оператором // АиТ. 2019. № 3. C. 3—25.

16. Берендакова А. В., Ибрагимов Д. Н. О методе построения внешних оценок предельного множества управляемости для линейной дискретной системы с ограниченным управлением // АиТ. 2023. № 2. С. 3—34.

17. Ибрагимов Д. Н., Осокин А. В., Сиротин А. Н., Сыпало К. И. О свойствах предельных множеств управляемости для класса неустойчивых линейных систем с дискретным временем и l1-ограничениями // Известия РАН. ТиСУ. 2022. № 4. С. 3—21.

18. Ибрагимов Д. Н., Сиротин А. Н. О некоторых свойствах множеств ограниченной управляемости для стационарных линейных дискретных систем с суммарным ограничением на управление // Известия РАН. ТиСУ. 2023. № 6. С. 3—32.

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

20. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 471 с.