Декомпозиция уравнений нелинейных аффинных систем управления и ее приложение к синтезу регуляторов

Рассматриваются вопросы декомпозиции нелинейных дифференциальных уравнений на основе теоретико-группового подхода. Вначале представлена декомпозиция дифференциальных уравнений линейных систем с использованием переходной матрицы состояния, а затем на основе теории непрерывных групп (групп Ли) показан процесс декомпозиции дифференциальных уравнений нелинейных систем. В основе подхода к декомпозиции лежит теорема об изоморфизме пространства векторных полей и дифференцирований Ли, которая позволяет рассматривать векторные поля как дифференциальные операторы гладких функций. Выводится формула о присоединенном представлении группы Ли в ее алгебре Ли, что фактически определяет нахождение векторного поля, которое характеризует взаимодействие двух и более векторных полей. Алгебра Ли дифференцирований дает возможность определить инфинитезимальное действие группы Ли, т. е. осуществляется линеаризация этого действия (преобразование точек пространства траектории исходной системы в малой окрестности). Декомпозиция позволяет, как и в линейном случае, отделить нахождение действия (только локально) группы преобразований от самих преобразуемых точек. Для линейных систем это разделение глобальное. Также показано, что декомпозиция линейных уравнений является частным случаем декомпозиции нелинейных уравнений. Представлен алгоритм метода модельного прогнозируемого управления с грамиановзвешиванием, использующий данную декомпозицию. Рассмотрен практический пример декомпозиции и применения метода модельного прогнозируемого управления для стабилизации нестационарной нелинейной системы.

1. Chen K. T. Decomposition of Differential Equations // Math. Annalen. 1962. N. 146. P. 263—278.

2. Krener A. J. A decomposition theory for differentiable systems // SIAM J. Contr. & Opt. 1977. Vol. 15, N. 5. P. 813—829.

3. Respondek W. On decomposition of nonlinear control systems // SIAM Control Lett. 1982. Vol. 1. P. 301—308.

4. Gruzzle J. W., Marcus S. I. The structure of nonlinear systems possessing symmetries // IEEE Trans. Aut.Control. 1985. Vol. 30, N.3. P. 773—779.

5. Vidyasagar M. Decomposition techniques for largescale systems with nonadditive interactions: stability and stabilizability // IEEE Trans. Aut.Control. 1980. Vol. 25, N.4. P. 773—779.

6. Краснощеченко В. И. Теоретико-групповой подход к синтезу регуляторов нелинейных аффинных систем на примере управления перевернутым маятником // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 7. С. 2—10.

7. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. М.: Едиториал УРСС, 2003. 408 с.

8. Полищук В. В. Софус Ли. М.: Наука, 1983. 214 с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. 344 с.

10. Трофимов В. В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989. 359 с.

11. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982. 448 с.

12. Hall B. C. Lie groups, Lie algebras and representations. NY: Springer, 2003. 350 p.

13. Doolin D. F., Martin C. F. Global differential geometry. An introduction for control engineers. NASA Reference publication 1091, 1982. 65 p.

14. Sontag E. D. Mathematical control theory. NY: Springer, 1998. 531 p.

15. Hunt L. R. Controllability of general nonlinear systems // Math. Systems Theory. 1979. N. 12. P. 361—370.

16. Sussmann H. A sufficient condition for local controllability // SIAM J. Cont. Optim. 1983. Vol. 16, N. 5. P. 790—802.

17. Петров Н. Н. О локальной управляемости // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 12. С. 2214—2222.

18. Краснощеченко В. И. Об одном подходе к нахождению грамиана управляемости нелинейных аффинных систем управления // Известия ТулГУ. Серия. Вычислительная техника, Информационные технологии. Системы управления. Вып. 3. Системы управления. Т. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006. С. 239—243.

19. Борисович Ю. Г., Белизняков Н. М., Израилевич Л. А. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980. 296 с.