Параметрическая оптимизация ПИД регулятора с ограничением на основе метода сопряженных градиентов Полака—Поляка—Рибьера

В автоматических системах регулирования (АСР) промышленных процессов различного типа с запаздыванием при ограничении на значение перерегулирования широко применяется ПИД регулятор с реальным дифференцирующим звеном (далее ПИД регулятор). Как известно, признаком наличия большого запаздывания у объекта регулирования является отношение τob/Tob l 1, где τob, Tob — время запаздывания и максимальная постоянная времени объекта регулирования. При наличии в АСР большого запаздывания и ограничения на выходную координату параметрический синтез ПИД регулятора хорошо известными частотными методами становится затруднительным, что обусловливает интерес к разработке численных беспоисковых алгоритмов параметрической оптимизации, основанных на использовании функций чувствительности для определения градиента критерия оптимальности.

В данной работе предложен алгоритм численной оптимизации, вычисляющий исходя из минимума интегрального квадратичного критерия значения настраиваемых параметров ПИД регулятора в указанных АСР. Чтобы обеспечить отсутствие перерегулирования у результирующего переходного процесса, предлагается на этапе оптимизации вводить в АСР ограничение на регулирующее воздействие, которое, в свою очередь, учитывается путем добавления штрафной функции в интегральный критерий.

Предлагаемый алгоритм основан на методе сопряженных градиентов Полака—Поляка—Рибьера с его известными преимуществами. Составляющие градиента критерия оптимизации вычисляются с помощью таких функций чувствительности, которые позволяют получить все компоненты этого вектора без пробных поисковых вариаций настраиваемых параметров. Для вычисления шага оптимизации авторами реализован соответствующий алгоритм, в основе которого лежит градиентная процедура с применением функции чувствительности выходной координаты АСР к значению шага.

Сходимость предлагаемого алгоритма проверена с помощью вычислительной процедуры на основе зоны притяжения рекордных значений критерия оптимизации, которая определяется положительно определенной матрицей Гессе интегрального квадратичного критерия, построенного на разности усредненного и проверяемого переходных процессов.

1. Бойченко В. А., Курдюков А. П., Тимин В. Н., Ядыкин И. Б. Некоторые методы синтеза регуляторов пониженного порядка и заданной структуры // Управление большими системами. 2007. № 19. С. 23—126.

2. Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию H∞: параметрический подход // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. С. 94—105.

3. Федотов И. А. Синтез ПИД-регуляторов на основе методов пространства состояний и техники линейных матричных неравенств // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2014. № 4-1. C. 445—455.

4. Поляк Б. Т., Хлебников М. В. Новые критерии настройки ПИД-регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2022. № 11. С. 62—82.

5. Александров В. А. Оптимизация размещения полюсов в одномерной системе управления // Автоматика и телемеханика. 2021. № 6. С. 102—123.

6. Аязян Г. К., Таушева Е. В. О некоторых ограничениях при параметрическом синтезе ПИД-регуляторов // Вестник Астраханcкого государственного технического университета. 2020. № 2. C. 7—18.

7. Жмудь В. А., Востриков А. С., Ивойлов А. Ю., Саблина Г. В. Синтез робастных ПИД-регуляторов методом двойной оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. № 21(2). С. 67—74.

8. Цавнин А. В., Ефимов С. В., Замятин С. В. Корневой подход к синтезу параметров ПИД-регулятора, гарантирующий отсутствие перерегулирования в переходной характеристике системы управления // Доклады ТУСУР. 2019. Т. 22, № 2. С. 77—82.

9. Опейко О. Ф. Робастный синтез дискретных ПИД регуляторов для объектов с интервальными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. № 19(6). С. 374—379.

10. Саблина Г. В., Маркова В. А. Настройка параметров ПИД-регулятора в системе с объектом второго порядка с запаздыванием // Автометрия. 2022. № 4. С. 110—117.

11. Кулаков Г. Т. и др. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: учеб. пособие. Минск: Вышэйшая школа, 2017. 238 c.

12. Денисенко В. В. Компьютерное управление технологическим процессом, экспериментом, оборудованием. М.: Горячая линия — Телеком, 2009. 608 с.

13. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием / Пер. с польского. М.: Машиностроение, 1974. 328 с.

14. Широков Л. А., Широкова О. Л. Автоматическая параметрическая оптимизации систем регулирования с ограничениями на управляющие координаты // Машиностроение и инженерное образование. 2015. № 1. С. 52—60.

15. Жмудь В. А., Ядрышников О. Д. Численная оптимизация ПИД-регуляторов с использованием детектора правильности движения в целевой функции // Автоматика и программная инженерия. 2013. № 1 (3). С. 24—29.

16. Ротач В. Я. Теория автоматического управления. М.: Издательство МЭИ, 2004. 400 с.

17. Åström K. J., Hägglund T. The future of PID control // Control Engineering Practice. 2001. Vol. 9, Iss. 11. P. 1163—1175.

18. Костюк В. И., Широков Л. А. Автоматическая параметрическая оптимизация систем регулирования. М.: Энергоиздат, 1981. 96 c.

19. Коcмодамианский А. С. Автоматическое регулирование температуры обмоток тяговых электрических машин локомотивов. М.: Маршрут, 2005. 256 c.

20. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. М.: Наука, 1981. 464 с.

21. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М: Наука, 1983. 384 c.

22. Полак Э. Численные методы оптимизации: единый подход / Пер. с англ. Ф. И. Ерешко; Под ред. И. А. Вателя. М.: Мир, 1974. 376 с.

23. Широков Л. А. Компактные анализаторы чувствительности высших порядков линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 1. С. 19—29.

24. Широков Л. А. Синтез компактов чувствительности для автоматизации параметрического проектирования линейных систем регулирования // Машиностроение и инженерное образование. 2008. № 3. С. 22—29.

25. Куцый Н. Н. Автоматическая параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.07. Москва, 1997. 382 с.

26. Куликов В. В., Куцый Н. Н., Осипова Е. А. Градиентный алгоритм параметрической оптимизации ПИДрегулятора при использовании фильтра // Тезисы XXII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск: ФИЦ ИВТ, 2021. С. 42—43.

27. Boyd S., Hast M., Astrom K. MIMO PID tuning via iterated LMI restriction // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2016. Vol. 26. P. 1718—1731.

28. Аязян Г. К., Таушева Е. В. Параметрический синтез ПИД-регуляторов с реальным дифференциатором // Математические методы в технике и технологиях. 2020. № 3. C. 16—19.