Выбор весовых коэффициентов квадратичного функционала качества в задаче АКОР Летова—Калмана

Для линейных стационарных одномерных объектов управления рассматривается обратная задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), которая состоит в определении весовых коэффициентов квадратичного функционала оптимальности процесса управления, обеспечивающих замкнутой системе регулирования заданные значения первичных показателей качества (времени переходных процессов, перерегулирования и статической ошибки). Она анализируется применительно к задаче АКОР в постановке Летова—Калмана. Предлагается способ ее решения, основанный на преобразовании задачи АКОР к канонической форме, в которой объект управления описывается в канонической форме фазовой переменной, а функционал качества определяется как интеграл от суммы квадратов канонических фазовых координат объекта, равных соответствующим производным фазовой переменной, с определенными весовыми коэффициентами, а также квадрата сигнала управления. Показывается, что решение обратной канонической задачи АКОР Летова—Калмана определяется значениями только трех ненулевых весовых коэффициентов критерия, причем один из них имеет единичное значение. Значения двух других коэффициентов предлагается находить в процессе моделирования синтезированной оптимальной системы управления из условий обеспечения для нее значений первичных показателей качества не более заданных. Полученные результаты, представленные в форме теорем 1 и 2, распространены на синтез астатических систем управления, в которых для получения астатизма к выходу объекта подключается дополнительный интегратор. Поскольку такой "расширенный" объект управления описывается с использованием вектора состояния, имеющего первые две фазовые координаты канонического вида, то синтез оптимальной системы осуществляется без преобразования описания объекта к канонической форме фазовой переменной и обратно. Конструирование астатической системы управления иллюстрируется примером.

1. Красовский А. А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. 712 с.

2. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.

3. Филимонов Н. Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 12. С. 2—10.

4. Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Динамическая коррекция процессов регулирования методом линейно-квадратичной оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 5. С. 9—14.

5. Kalman R. E. Contributions to the Theory of Optimal Control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. Vol. 5, N. 1. P. 102—119.

6. Летов A. M. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4. С. 406—411; № 5. С. 561—568; № 6. С. 661—665.

7. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. 256 с.

8. Калман P. Э. Когда линейная система управления является оптимальной? // Тpуды Амеpик. об-ва инж. механиков. Т. 86, Сеp. D. 1964. № 1. С. 69—84.

9. Беллман P., Калаба P. Обратная задача программирования в автоматическом управлении // Механика: Сб. пеpев. иностp. статей. 1964. Т. 88, № 6. С. 3.

10. Абдулаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

11. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

12. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989. 264 с.

13. Кухаренко В. Н. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. № 4. С. 411—417.

14. Дегтярев Г. Л., Ризаев И. С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления. М.: Машиностроение, 1991. 304 с.

15. Ловчаков В. И., Шибякин О. А. Модифицированные фильтры Баттерворса в решении обратной задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 2. С. 71—82. DOI: 10.17587/mau.22.71-82.

16. Ловчаков В. И. Синтез линейных систем управления с максимальным быстродействием и заданным перерегулированием // Мехатроника, автоматизация, управление. 2020. Т. 21, № 9. С. 499—510.

17. Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. 736 с.

18. Квакернак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

19. Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator // Int. J. Contr. 1998. Vol. 47, N. 4. P. 947—951.

20. Lutovac Miroslav D. Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica. New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001.

21. Гайдук А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.

22. Ким Д. П. Алгебраические методы синтеза САУ. М.: Физматлит, 2014, 164 с.

23. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.

24. Солодовников В. В., Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового пространства. I. Объекты с одномерным управляющим входом // Известия вузов. Приборостроение. 1982. № 6. С. 21—27.