Модифицированные фильтры Баттерворса в решении обратной задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Для линейных стационарных одномерных объектов управления рассматривается обратная задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), которая состоит в определении весовых коэффициентов квадратичного функционала оптимальности процесса управления, обеспечивающих замкнутой системе регулирования заданные значения времени переходных процессов и перерегулирования. Время переходного процесса (время регулирования) синтезируемой системы понимается в смысле классической теории автоматического управления и определяется с использованием " трубки" , значение которой принимается, в отличие от известных работ, равным требуемому (желаемому) небольшому значению перерегулирования системы в несколько процентов (2...5 %). Равенство процентных величин, характеризующих " трубку" и желаемое перерегулирование синтезируемой системы, является необходимым условием максимального быстродействия линейных динамических систем и, соответственно, обеспечивает однозначность решения рассматриваемой обратной задачи АКОР в классе быстродействующих систем.

Предлагаемый способ решения предусматривает преобразование задачи АКОР к канонической форме, в которой объект управления описывается матричным дифференциальным уравнением в форме Фробениуса, а функционал качества определяется как интеграл от суммы произведений канонических фазовых координат объекта, а также квадрата сигнала управления с соответствующими весовыми коэффициентами. Показано, что решение обратной канонической задачи АКОР определяется значениями только трех ненулевых весовых коэффициентов критерия, причем один из них имеет единичное значение. Значения двух других коэффициентов предлагается находить в процессе моделирования синтезированной оптимальной системы управления из условий обеспечения для нее заданного времени регулирования и заданного перерегулирования.

Для получения числовых оценок двух основных весовых коэффициентов квадратичного критерия качества рассмотрено решение задачи АКОР при предельном увеличении значений этих весовых коэффициентов. Предельным решением задачи АКОР определены передаточные функции динамических систем с предельным (максимальным) быстродействием, которые имеют заданное перерегулирование 4,321 %. Динамические системы, описываемые данными передаточными функциями, названы модифицированными фильтрами Баттерворса в связи с тем, что известные фильтры Баттерворса получаются как их частный случай при нулевом значении определенной константы. Представлены параметры и показатели динамики этих фильтров до восьмого порядка. С использованием показателей фильтров Баттерворса установлены числовые оценки весовых коэффициентов квадратичного критерия качества. Передаточные функции модифицированных фильтров Баттерворса рекомендуется использовать в качестве эталонных передаточных функций синтезируемых быстродействующих систем управления.

1. Красовский А. А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. 712 с.

2. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.

3. Филимонов Н. Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 12. С. 2—10.

4. Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Динамическая коррекция процессов регулирования методом линейно-квадратичной оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 5. С. 9—14.

5. Kalman R. E. Contributions to the Theory of Optimal Control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. V. 5, N. 1. P. 102—119.

6. Летов A. M. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4. С. 406—411; № 5. С. 561—568; № 6. С. 661—665.

7. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. 256 с.

8. Калман P. Э. Когда линейная система управления является оптимальной? // Тpуды Амеpик. об-ва инж. механиков. 1964. Т. 86, Сеp. D. № 1. С. 69—84.

9. Белман P., Калаба P. Обратная задача программирования в автоматическом управлении // Механика: Сб. пеpев. иностp. статей. 1964. Т. 88, № 6. С. 3.

10. Абдулаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

11. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

12. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989. 264 с.

13. Кухаренко В. Н. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. № 4. С. 411—417.

14. Дегтярев Г. Л., Ризаев И. С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления. М.: Машиностроение, 1991. 304 с.

15. Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. В 3 тт. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. 736 с.

16. Квакернак Х. Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

17. Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator // Int. J. Contr. 1998. Vol. 47, N. 4. P. 947—951.

18. Miroslav D. Lutovac. Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica. New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001.

19. Гайдук А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.

20. Ким Д. П. Синтез оптимальных по быстродействию непрерывных линейных регуляторов // АиТ. 2009. № 3. С. 5—16.

21. Ким Д. П. Алгебраические методы синтеза САУ. М.: Физматлит, 2014, 164 с.

22. Ловчаков В. И. Необходимые условия максимального быстродействия линейных динамических систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2017. № 6. С. 376—382.

23. Ловчаков В. И. Синтез линейных систем управления с максимальным быстродействием и заданным перерегулированием // Мехатроника, автоматизация, управление. 2020. Т. 21, № 9. С. 499—510.