Метод топологической грубости в задачах исследования и управления синергетическими системами

Рассматривается метод исследования грубости динамических систем, основанный на понятии грубости по Андронову—Понтрягину и именуемый "методом топологической грубости". Даны понятия "грубость" и "бифуркация" динамических систем, сформулированные еще на заре становления научного направления математики — топологии — великим французским ученым А. Пуанкаре. Формулируется понятие грубости по Андронову—Понтрягину и определяются условия достижимости требуемой грубости динамической системы. Приведены определения понятий максимальной грубости и минимальной негрубости динамических систем, введенные автором ранее. Сформулированы соответствующие теоремы о необходимых и достаточных условиях достижимости максимальной грубости и минимальной негрубости, а также возникновения бифуркаций топологических структур динамических систем, которые были доказаны в основополагающих работах автора, приведенных в списке литературы. Утверждается, что множества грубых и негрубых систем составляют непрерывные по показателю грубости множества. В качестве показателя грубости в методе используется число обусловленности матрицы приведения к диагональному (квазидиагональному) виду матрицы Якоби в особых точках фазового пространства системы. Метод позволяет управлять грубостью систем управления на основе теоремы, сформулированной с использованием матричного уравнения Сильвестра и доказанной в работах автора, которая также приведена в данной работе. Основные этапы исследований грубости и бифуркаций систем с помощью рассматриваемого метода сформулированы в виде соответствующего алгоритма. В работе кратко изложены вопросы о синергетических системах и хаосе (странных аттракторах) в них. Метод может быть использован для исследований грубости и бифуркаций динамических систем, а также синергетических систем и хаоса различной физической природы. Возможности метода проиллюстрированы на примерах синергетической системы Чуа, а также технической системы в виде нелинейного сервомеханизма.

динамическая система, топологическая грубость, синергетическая система и хаос, грубость по Андронову—Понтрягину, бифуркация, максимальная грубость и минимальная негрубость систем, гиперболические и негиперболические особые точки

1. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247—250.

2. Аносов Д. В. Грубые системы // Топология, обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы: Сборник обзорных статей. 2. К 50-летию института (Труды МИАН СССР. Т. 169). М.: Наука, 1985. С. 59—93.

3. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. Т. 32. М.: ВИНИТИ, 1991. С. 3—31.

4. Peixoto M. M. On structural stability // Ann. Math. 1959. Vol. 69, N. 1. P. 199—222.

5. Оморов Р. О. Максимальная грубость динамических систем // Автоматика и Телемеханика. 1991. № 8. С. 36—45.

6. Omorov R. O. Maximal coarseness of dinamical systems // Automation and Remote Control. 1992. Vol. 52, N. 8 pt. 1. P. 1061—1068.

7. Оморов Р. О. Количественные меры грубости динамических систем и их приложения к системам управления: Дис. докт. техн. наук. СПб.: Санкт-Петербургский институт точной механики и оптики, 1992.

8. Оморов Р. О. Метод топологической грубости: Теория и приложения. I. Теория // Изв. НАН КР, 2009. № 3. С. 144—148.

9. Оморов Р. О. Синергетические системы: Проблемы грубости, бифуркаций и катастроф // Наука и новые технологии. 1997. № 2. С. 26—36.

10. Оморов Р. О. Топологическая грубость синергетических систем // Проблемы управления и информатики. 2012. № 2. С. 5—12.

11. Omorov R. O. Topological Roughness of Synergetic Systems // Journal of Automation and Information Sciences. 2012. Vol. 44. P. 61—70.

12. Оморов Р. О. Теория топологической грубости систем. Бишкек: Илим, 2019.

13. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями / Пер. с франц., под ред. А. А. Андронова. М., Л.: Гостехиздат, 1947.

14. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

15. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Пер. с англ. М.: Мир, 1985.

16. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного: Введение / Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

17. Haken H. Synergetics: Introduction and Advanced Topics. London: Springer. 2004.

18. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики / Пер. с англ. М.: ЛКИ, 2008.

19. Занг В. Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

20. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика: От тепловых двигателей до диссипативных структур / Пер. с англ. М.: Мир, 2002.

21. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы // А и Т. 2003. № 5. С. 3—45.

22. Колесников А. А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. 2-е изд. М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2012.

23. Странные аттракторы / Сб. пер. с англ. под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. М.: Мир, 1981.

24. Peak D., Frame M. Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity. New York: W. H. Freeman and Company. 1994.

25. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. 2-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

26. Петров В. В., Гордеев А. А. Нелинейные сервомеханизмы. М.: Машиностроение, 1979.