Определение области робастной устойчивости системы на основе теоремы В. Л. Харитонова

Параметры объекта регулирования в процессе эксплуатации в силу различных причин могут изменяться. Эти изменения могут привести к изменению показателей качества работы автоматической системы, а также ее устойчивости. В данной статье предложен подход для определения области допустимых значений параметров объекта регулирования автоматической системы с ПИД регулятором, в которой система будет сохранять устойчивость. Таким образом, возникает задача анализа автоматической системы регулирования, заданной не единственной моделью с четко заданными параметрами, а семейством моделей, принадлежащих заданному множеств у — задача робастного регулирования. Поиск диапазонов, в которых параметры объекта регулирования могут изменяться, в настоящей работе основывается на решении задачи нелинейного программирования. Представ лен вывод целевой функции и системы ограничений с применением теоремы В. Л. Харитонова о робастной устойчивости линейных систем. Основная идея заключается в том, что каждый параметр объекта регулирования может изменяться на некоторую величину h_i1 в сторону уменьшения и на h_i2 — в сторону увеличения. Заменив обозначения, используемые в теореме В. Л. Харитонова, нижних и верхних границ изменения параметров на суммы и разности номинальных значений параметров и соответствующих h_i1, h_i2, мы получаем систему ограничений. При этом для устойчивости полиномов Харитонова наиболее удобно использовать критерий Льенара—Шипара. Чем больше значения h_i1, h_i2, тем шире диапазоны изменения параметров и тем меньше обратная сумма этих значений. Исходя из этого утверждения формируется целевая функция. Следует отметить, что условие для рассматриваемой автоматической системы, на котором основан предлагаемый подход, является достаточным, но не необходимым, так как коэффициенты полинома взаимозависимые. Рассмотрен пример, с помощью которого демонстрируется предложенный подход. Данный подход можно применить и для других линейных систем, для которых выполняются условия теоремы В. Л. Харитонова. 

1. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления: Пер. с англ. Б. И. Копылова. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2012. 832 с.

2. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Том 1. Линейные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 288 с.

3. Ощепков А. Ю. Системы автоматического управления: теория, применение, моделирование в MATLAB: учеб. пособ. СПб.: Лань, 2013. 208 с.

4. Lukyanov A. V., Krakovsky Yu. M., Arshinsky L. V., Kutsy N. N. The developmtnt of software for controlling a safery system of the machines using wibration analysis // Far East Journal of Mathematice 1 Sciences (EJMS). 2018. Vol. 103, N. 2. P. 441—450.

5. Kucyi N. N., Lukyanov A. V., Kargapol’cev S. K., Tikhii I. I. Training of neural network based PWM controllers // Advances and Applications in Discrete Mathematics. 2018. Vol. 19, N. 4. P. 359—371.

6. Galyaev A. A., Lysenko P. V. Energy-Optimal Control of Harmonic Oscillator // Automation and Remote Control. 2019. Vol. 80, N. 1. P. 16—29.

7. Kogan M. M. Design of optimal and robust control with H ∞/γ 0 performance criterion // Automation and Remote Control. 2016. Vol. 77, N. 8. P. 1317—1333.

8. Zhirabok A. N., Suvorov A. Yu. A method for constructing robust diagnostic observers // Automation and Remote Control. Vol. 75, N. 2. 2014. P. 208—218.

9. Ефимов С. В., Замятин С. В., Суходоев М. С., Гайворонский С. А. Определение желаемой области расположения доминирующих полюсов замкнутой системы с учетом ее нулей // Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 312. № 5. С. 57—61.

10. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физ-мат литература, 1959. 916 с.

11. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е. Н. Розенвассера, Р. М. Юсупова. Л.: Энергия, 1971. 345 с.

12. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т. 3: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 748 с.

13. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. 744 с.

14. Kutsyi N. N., Livshits A. V. Searchless algorithm for parametrics optimization of a PI-controller with semi-permant integration // Advanee des in Differential Equation and Control Processes. 2018. Vol. 19, N. 2. P. 69—82.

15. Morozov M. V. On Small Perturbations of a Periodic Homogeneous Differential Inclusion with an Asymptotically Stable Set // Automation and Remote Control. Vol. 80, N. 5. 2019. P. 834—839.

16. Aleksandrov A. G. Design of Controllers by Indices of Precision and Speed. III. Control-Stable Multidimensional Plants // Automation and Remote Control. Vol. 79, N. 2. 2018. P. 241—257.