Линейные матричные неравенства в задачах устойчивости: ретроспектива и теоретические аспекты

Работа представляет собой расширенную и переработанную версию доклада, сделанного на конференции имени Е. С. Пятницкого в 2016 г.

Рассматриваются некоторые аспекты развития теории линейных матричных неравенств. Освещается ряд результатов, полученных на начальном этапе развития этой теории как при разработке численных методов, так и при получении аналитических условий их разрешимости. Основное внимание сосредоточено на системе линейных матричных неравенств, возникающей при решении задачи абсолютной устойчивости. Е. С. Пятницким и его учениками показано, что разрешимость этой системы является критерием существования квадратичной функции Ляпунова и достаточным условием абсолютной устойчивости. Рассматриваются предпосылки, приведшие к данному результату. Показывается использование рассматриваемой системы неравенств для исследования устойчивости гибридных систем, описываемых дифференциальными включениями и системами с переключениями. Приводится анализ цитирования некоторых работ школы Пятницкого по теории устойчивости и теории систем линейных матричных неравенств, из которого следует востребованность результатов этих работ в настоящее время.

При разработке численных методов Е. С. Пятницким впервые показано, что вопрос о разрешимости системы линейных матричных неравенств сводится к задаче выпуклого программирования. Приводится интересный градиентный алгоритм поиска решений такой системы.

При анализе аналитических условий разрешимости отмечается полученный автором совместно с Е. С. Пятницким критерий неразрешимости интересующей системы. В современных терминах этот результат можно рассматривать как описание допустимого множества в двойственной задаче полуопределенного программирования. Похожий результат приводится в известной книге С. Бойда с соавторами. В работе показывается, что результат Бойда и др. является простым следствием критерия неразрешимости. Здесь критерий неразрешимости обобщается и уточняется. 

1. Чайковский М. М., Курдюков А. П. Алгебраические уравнения Риккати и линейные матричные неравенства для систем дискретного времени. М.: ИПУ РАН, 2005.

2. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

3. Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными системами: Техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014.

4. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

5. Емельянова Ю. П., Пакшин П. В., Пакшина Н. А. Матричные уравнения и неравенства второго порядка: учеб. пособие. Нижний Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р. Е. Алексеева, 2013.

6. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM. Philadelphia. 1994.

7. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. History of Linear Matrix Inequalities in Control Theory // Procceding of the American Control Conference, Baltimore, Maryland, 1994. P. 31—34.

8. Kamenetskiy V. A., Pyatnitskiy Ye. S. An iterative method of Lyapunov function construction for differential inclusions // Systems and Control Letters. 1987. Vol. 8. P. 445—451.

9. Горбунов А. В., Каменецкий В. А. LMI, абсолютная устойчивость и гибридные системы // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Матер. XIII Международной конференции (1—3 июня 2016 г., Москва). М.: ИПУ РАН, 2016. С. 86—87.

10. Гелиг A. X., Леонов Г. A., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

11. Boyd S., Yang Q. Structured and simultaneous Lyapunov functions for system stability problems // Internat. J. Control 1989. Vol. 49, N. 6. P. 2215—2240.

12. Каменецкий В. А. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем упpавления с несколькими нелинейными нестационаpными элементами // Автоматика и телемеханика. 1983. № 12. С. 20—30.

13. Пятницкий E. С., Скородинский В. И. Численные методы построения функций Ляпунова и критерии абсолютной устойчивости в форме численных процедур // Автоматика и телемеханика. 1983. № 11. С. 52—63.

14. Bellman R., Fan K. On systems of linear inequalities in Hermitian matrix variables // Proc. of Simposia in Pure Mathematics. American Math. Society. 1963. Vol. 7. P. 1—11.

15. Pyatnitskiy Ye. S., Skorodinskiy V. I. Numerical methods of Liapunov function construction and their application to the absolute stability problem // Systems and Control Letters. 1982. Vol. 2. P. 130—135.

16. Пятницкий Е. С. Абсолютная устойчивость нестационарных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1970. № 1. С. 5—15.

17. Каменецкий В. А., Пятницкий Е. С. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1987. № 1. С. 3—12.

18. Алимов Ю. И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. XXII. № 7. С. 817—830.

19. Liberzon D. Switching in Systems and Control. Boston. MA: Birkhäuser, 2003.

20. Shorten R., Wirth F., Mason O., Wulf K., King C. Stability Сriteria for Switched and Hybrid Systems // SIAM Rev. 2007. N. 4. P. 545—592.

21. Lin H., Antsaklis P. J. Stability and Stabilizability of Switched Linear Systems: a Survey of Recent Results // IEEE Trans. Automat. Contr. 2009. N. 2. P. 308—322.

22. Молчанов А. П., Пятницкий Е. С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1986, № 3. С. 63—73; № 4. С. 5—15; № 5. С. 38—49.

23. Molchanov A. P., Pyatnitskiy E. S. Criteria of asymptotic stability of differential and difference inclusions encountered in control theory // Systems Control Lett. 1989. Vol. 13. P. 59—64.

24. Pyatnitskiy E. S., Rapoport L. B. Criteria of asymptotic stability of differential inclusions and periodic motions of timevarying nonlinear control systems // IEEE Trans. Circuits Syst. I. 1996. Vol. 43, N. 3. P. 219—229.

25. Пятницкий Е. С. Избранные труды: в 3 т. М.: Физматлит, 2005.

26. Филиппов А. Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8. С. 48—55.

27. Laffey T. J., Smigoc H. Common Lyapunov solutions for two matrices whose difference has rank one // Linear Algebra and its Applications. 2009. Vol. 431. P. 228—240.

28. Поздяев В. В. Об аналитическом решении систем матричных неравенств, двойственных к системам неравенств Ляпунова // Управление большими системами. Вып. 28. М.: ИПУ РАН, 2010. С. 58—74.

29. Алексеев В. М., Тихомиров И. М., Фомин С. И. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

30. Griggs W. M., King C. K., Shorten R. N., Mason O., Wulff K. Quadratic Lyapunov functions for systems with statedependent switching // Linear Algebra and its Applications. 2010. Vol. 433. P. 52—63.

31. Balakrishnan V., Vandenberghe L. Semidefinite programming duality and linear time-invariant systems // IEEE Trans. Automat. Control. 2003. Vol. 48, N. 1. P. 30—41.

32. Vandenberghe L., Boyd S. Semidefinite programming // SIAM Rev. 1996. Vol. 38, N. 1. P. 49-95.

33. Berman A., Ben-Israel A. More on linear inequalities with applications to matrix theory // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1971. Vol. 33. P. 482—496.

34. Фрадков А. Л. Теоремы двойственности в некоторых невыпуклых экстремальных задачах // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 14, № 2. С. 357—383.

35. Ostrowski A., Schneider М. Some theorems on the inertia of general matrices // J. Math. Anal. Appl. 1962. Vol. 4. P. 72—84.

36. Каменецкий В. А. Градиентный метод построения функций Ляпунова для нелинейных динамических систем / Оптимизация в сложных системах. Сер. "Вопросы кибернетики" / Под ред. П. П. Пархоменко. М.: Академия наук СССР, 1988. С. 55—72.

37. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задача на экстремум при наличии ограничений // ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 395—453.

38. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.