Анализ устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе преобразования разностных схем

Представлен подход к анализу устойчивости в смысле Ляпунова систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на мультипликативных преобразованиях разностных схем численного интегрирования. В результате преобразований формируются критерии устойчивости в виде необходимых и достаточных условий. Критерии инвариантны относительно правой части системы и не требуют ее преобразования относительно разностной схемы, длины промежутка и шага решения. Отличительной особенностью критериев является то, что они не используют методы качественной теории дифференциальных уравнений. В частности, для случая систем с постоянной матрицей коэффициентов не нужно построения характеристического многочлена и оценки значений характеристических чисел. При анализе устойчивости системы с переменной матрицей коэффициентов не требуется вычисления характеристических показателей. Получены разновидности критериев в аддитивной форме. Анализ устойчивости на их основе эквивалентен оценке устойчивости на основе критериев в мультипликативной форме.
В условиях устойчивости (асимптотической устойчивости) линейной системы дифференциальных уравнений получены критерии устойчивости (асимптотической устойчивости) систем линейных дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой. Для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений приводится схема анализа устойчивости на основе линеаризации, которая связана непосредственно с исследуемым решением. Схема строится в предположении, что устойчивость решения системы общего вида эквивалентна устойчивости линеаризованной системы в достаточно малой окрестности возмущения начальных данных. Матричная форма критериев позволяет реализовать их в виде циклической программы. Компьютерный анализ выполняется в режиме реального времени и по своим результатам позволяет сделать однозначный вывод о характере устойчивости исследуемой системы. На основе численного эксперимента установлен допустимый диапазон вариации шага разностного метода и длины промежутка разностного решения в границах достоверности анализа устойчивости. Изложен подход, ориентированный на компьютерный анализ устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений. Компьютерная апробация показала целесообразность использования данного подхода на практике.

1. Ромм Я. Е., Буланов С. Г. Компьютерный анализ устойчивости по Ляпунову систем линейных дифференциальных уравнений. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та им. А. П. Чехова, 2012. 148 с.

2. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 478 с.

3. Буланов С. Г., Джанунц Г. А. Программный анализ устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе мультипликативных преобразований разностных схем и кусочно-полиномиальных приближений решения // Промышленные АСУ и контроллеры. 2015. № 2. С. 10—20.

4. Ромм Я. Е., Буланов С. Г. Компьютерный анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений с нелинейной добавкой применительно к фазовой автоподстройке частоты // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. Серия "Управление, вычислительная техника и информатика". 2010. № 6. С. 55—60.

5. Ромм Я. Е., Буланов С. Г. Численный эксперимент по компьютерному анализу устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений на основе критериев матричного вида // Депонирована в ВИНИТИ от 14.08.17. № 89.2017. 20 с.