Кватернионные модели и алгоритмы решения общей задачи энергетически оптимальной переориентации орбиты космического аппарата

В кватернионной постановке рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата. Управление (вектор ускорения от реактивной тяги) ограничено по величине. Требуется определить оптимальную ориентацию этого вектора в пространстве. При этом необходимо минимизировать затраты энергии на процесс переориентации орбиты космического аппарата. Для описания движения центра масс космического аппарата использовано кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты. Поставленная задача решена с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина. Дифференциальные уравнения задачи были упрощены с помощью известного частного решения уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии. Задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата была сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений пятнадцатого порядка. Для численного решения полученной краевой задачи был осуществлен переход к безразмерным переменным. При этом в фазовых и сопряженных уравнениях появился характерный безразмерный параметр задачи. Для нахождения неизвестных начальных значений сопряженных переменных был построен оригинальный численный алгоритм. Этот алгоритм является комбинацией методов РунгеКутта 4-го порядка точности и двух методов решения краевых задач: модифицированного метода Ньютона и метода градиентного спуска. Использование двух методов решения краевых задач позволило повысить точность решения исследуемой краевой задачи оптимального управления. Приведены примеры численного решения задачи для случаев, когда отличие (в угловой мере) между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата составляет единицы (или десятки) градусов. Построены графики изменения компонент кватерниона ориентации орбиты космического аппарата; переменных, характеризующих форму и размеры орбиты космического аппарата; оптимального управления. Дан анализ полученных решений. Установлены особенности и закономерности процесса оптимальной переориентации орбиты космического аппарата. Так, в случае, когда отличие между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата мало, эксцентриситет орбиты космического аппарата и модуль вектора момента орбитальной скорости космического аппарата имеют лишь одну точку экстремума. Напротив, в случае, когда отличие между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата велико, указанные функции имеют несколько точек локального экстремума.

1. Kirpichnikov S. N., Bobkova A. N., Os’kina Yu. V. Kosmicheskie Issledovaniia, 1991, vol. 29, no. 3, pp. 367—374 (in Russian).

2. Grigoriev K. G., Grigoriev I. S., Petrikova Yu. D. Kosmicheskie Issledovaniia, 2000, vol. 38, no. 2, pp. 160—181. 2012, vol. 12, no. 3, pp. 87—95 (in Russian).

3. Kiforenko B. M., Pasechnik Z. V., Kyrychenko S. B., Vasiliev I. Yu. Acta Astronautica, 2003, vol. 52, no. 8, pp. 601—611.

4. Fazelzadeh S. A., Varzandian G. A. Acta Astronautica, 2010, vol. 66, no. 3—4, pp. 528—538.

5. Grigoriev K. G., Fedyna A. V. Kosmicheskie Issledovaniia, 1995, vol. 33, no. 4, pp. 403—416 (in Russian).

6. Ryzhov S. Y., Grigoriev I. S. Cosmic Research, 2006, vol. 44, no. 3, pp. 258—267.

7. Grigoriev I. S., Grigoriev K. G. Cosmic Research, 2007, vol. 45, no. 4, pp. 339—347.

8. Grigoriev I. S., Grigoriev K. G. Cosmic Research, 2007, vol. 45, no. 6, pp. 523—534.

9. Kirpichnikov S. N., Bobkova A. N. Kosmicheskie Issledovaniia, 1992, vol. 30, no. 6, pp. 800—809 (in Russian).

10. Kirpichnikov S. N., Kuleshova L. A., Kostina Yu. L. Cosmic Research, 1996, vol. 34, no. 2, pp. 156—164.

11. Ishkov S. A., Romanenko V. A. Cosmic Research, 1997, vol. 35, no. 3, pp. 268—277.

12. Salmin V. V., Sokolov V. O. Kosmicheskie Issledovaniia, 1991, vol. 29, no. 6, pp. 872—888 (in Russian).

13. Afanas’eva Yu. V., Chelnokov Yu. N. Journal of Computer and Systems Sciences International, 2008, vol. 47, no. 4, pp. 621—634.

14. Chelnokov Yu. N. Cosmic Research, 2003, vol. 41, no. 1, pp. 85—99.

15. Abalakin V. K., Aksenov E. P., Grebennikov E. A., Demin V. G., Riabov Iu. A. Reference guide on celestial mechanics and astrodynamics, Moscow, Nauka, 1976, 864 p. (in Russian).

16. Duboshin G. N. Celestial mechanics. Main tasks and methods, Moscow, Nauka, 1968, 799 p. (in Russian).

17. Pankratov I. A., Sapunkov Ya. G., Chelnokov Yu. N. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika,

18. Pankratov I. A., Sapunkov Ya. G., Chelnokov Yu. N. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2013, vol. 13, no. 1, part 1, pp. 84—92 (in Russian).

19. Pontriagin L. S., Boltianskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. The mathematical theory of optimal processes, Moscow, Nauka, 1983, 393 p. (in Russian).

20. Moiseev N. N. Numerical methods in the theory of optimal systems, Moscow, Nauka, 1971, 424 p. (in Russian).

21. Chelnokov Yu. N. Cosmic Research, 2003. Vol. 41, no. 5, pp. 460—477.

22. Bordovitsyna T. V. Modern numerical methods in problems of celestial mechanics, Moscow, Nauka, 1984, 136 p. (in Russian).