Определение вершинных полиномов для анализа степени робастной устойчивости интервальной системы

Рассматривается характеристический полином интервальной системы автоматического управления, у которого коэффициенты априорно точно неизвестны или могут произвольно изменяться в заранее известных числовых пределах. При этом корни интервального характеристического полинома мигрируют по комплексной плоскости, образуя области их локализации. По границам этих областей возможно определить степень робастной устойчивости интервальной системы автоматического управления. Для ее анализа рассматривается отображение на корневую комплексную плоскость параметрического многогранника интервальных коэффициентов характеристического полинома системы управления. При этом учитывается известное свойство определения степени робастной устойчивости интервальной системы управления в вершинах этого многогранника. Для нахождения данных проверочных вершин предлагается использовать основное фазовое уравнение метода корневого годографа. Исходя из требований к расположению областей локализации полюсов системы управления проведено интервальное расширение углов от нулей и полюсов, входящих в основное фазовое уравнение. Для этого доказаны утверждения, определяющие суммы интервалов углов полюсов в случае колебательной степени робастной устойчивости интервальной системы управления. Из условий определения полюсом степени колебательной устойчивости системы получены двойные интервальные угловые неравенства, задающие диапазоны углов выхода из этого полюса всех реберных ветвей многопараметрического интервального корневого годографа. В результате проведенных исследований разработана процедура нахождения у многогранника коэффициентов характеристического полинома координат проверочных вершин и соответствующих им вершинных полиномов. Определены вершинные полиномы для анализа степени робастной колебательной устойчивости интервальных систем управления второго, третьего и четвертого порядков. Доказано утверждение для нахождения координат вершины, которая определяет степень робастной апериодической устойчивости. Приведены числовые примеры вершинного анализа степени колебательной и апериодической робастной устойчивости интервальных систем управления третьего и четвертого порядков. Для проверки полученных результатов построены области локализации корней рассмотренных интервальных полиномов, подтверждающие правильность выбора проверочных вершин многогранника интервальных коэффициентов.

1. Харитонов В. Л. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086—2088.

2. Anderson B. D. O., Kraus F., Mansour M., Desgupta S. Easily testable sufficient conditions for the robust stability of systems with multi-affine parameter dependence // in M. Mansour, S. Balemi, Truol, editors, Robustness of dynamic systems with parameter uncertainties. Birkhauser, Basel, Switzerland, 1992. P. 81—92.

3. Kawamura T., Shima M. Robust stability analysis of characteristic polynomials whose coefficients are polynomials of interval parameters // Journal of Mathematical System, Estimation and Control. 1996. Vol. 6, № 4. P. 1—12.

4. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

5. Римский Г. В. Корневые методы исследования интервальных систем. Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 1999, 186 с.

6. Несенчук А. А. Анализ и синтез робастных динамических систем на основе корневого подхода. Минск: ОИПИ, 2005. 232 с.

7. Вадутов О. С., Гайворонский С. А. Применение реберной маршрутизации для анализа устойчивости интервальных полиномов // Изв. АН. ТиСУ. 2003. № 6. С. 7—12.

8. Гайворонский С. А. Определение реберного маршрута для анализа робастной секторной устойчивости интервального полинома // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. № 5. С. 11—15.

9. Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Техническая кибернетика. 1991. № 1. С. 3—30.

10. Гайворонский С. А. Вершинный анализ корневых показателей качества системы с интервальными параметрами // Известия Томского политехнического университета. 2006. Т. 309, № 7. С. 6—9.

11. Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. М.: Наука, 1972. 448 с.