Проблема моментов в задачах управления упругими динамическими системами

Рассматривается классическая проблема моментов, возникающая в задачах управления упругими динамическими системами, моделируемыми уравнениями в частных производных четвертого порядка, гиперболическими по Петровскому. Задача управления заключается в нахождении минимального времени, за которое можно погасить колебания, возникающие в системах вследствие начальных возмущений. Доказывается существование минимального значения времени и оптимального управления на примере гашения колебаний балок и пластин, являющихся типичными элементами различных механических конструкций, таких как трубопроводы, антенны и несущие элементы космических платформ. При этом время гашения колебаний и оптимальное управление найдено в явном виде. Для получения приближенных решений введены так называемые точечные движущиеся демпферы и стационарные узкие демпферы, упрощающие разработку вычислительных алгоритмов на основе метода редукции и координатного спуска.

гашение колебаний, тригонометрическая проблема моментов, ортогональные системы и базис Рисса, асимптотическая проблема моментов, стационарные и движущиеся демпферы, метод редукции, метод координатного спуска, damping of oscillations, trigonometric moment problem, orthogonal systems and Riesz basis, asymptotic moment problem, stationary and moving dampers, reduction method, coordinate descent method

1. Lagness J. Control of wave process with distributed controls supported on a subregion // SIAM Journ. Control and Optim. 1983. Vol. 1, N. 1. P. 68-85.

2. Lions J. L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed system // SIAM Review. 1988. Vol. 30, N. 1. P. 1-68.

3. Красносельский М. А., Крейн М. Г. Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и некоторые их применения к теории ортогональных полиномов и проблеме моментов // УМН. 1947, 2:3 (19), С. 60-106.

4. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов. ДнТВУ, 1938. 256 с.

5. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, Физматлит, 1966. 544 с.

6. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 314 с.

7. Levinson N. Gap and density theorem // Amer. Math. Soc. Colog. Publ. 1940. Vol. 26.

8. Bellman R. Almost orthogonal series // Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 50.

9. Russel D. Controllability and stabilization theory for linear partial differential equations // SIAM Review. 1978. Vol. 20, N. 5. P. 639-739.

10. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

11. Бутковский А. Г. Приложение некоторых результатов теории чисел к проблеме финитного управления и управляемости в распределенных системах // ДАН СССР. 1976. Т. 227, № 2. С.309-311.

12. Muravey L. A. On the suppression on membrane oscillations // Summaries of IUTAM Symposium "Dynamical problems of rigid-elastic system", Moscow, 1990. Р. 50-51.

13. Muravey L. A. Mathematical problems on the damp of vibration // Preprint of IFAC Conference "Identification and system parameter estimations". Budapest. 1991. Vol. 1. P. 746-747.

14. Билалов Б. Т. О базисности системы {eitjnxsinnx} и экспонент со сдвигом // ДАН РАН. 1995. Т. 345, № 2. С. 644-647.

15. Билалов Б. Т., Муравей Л. А. О гашении колебаний больших механических систем // Труды международного симпозиума Intels-96. С.-Петербург. Ч. II. 1996. С. 246-254.

16. Makmudov A., Muravey L. The problem of string vibrations damping // Proceedings of the First International Conference on Nonlinear Analysis and Nonlinear Modeling, Fethiey, Turkey, 2001. Р. 174-182.

17. Асланов С. Ж., Михайлов И. Е., Муравей Л. А. Аналитические и численные методы в задаче гашения колебаний струны точечным демпфером // Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. № 7. С. 28-35.

18. Атамуратов А. Ж. О гашении колебаний прямоугольной мембраны // Вестник Тверского государственного университета. Серия Прикладная математика. 2013. № 2. С. 49-59.