Finite-Element Modeling of the Micromechanical Inertial Sensors Using Non-Classical Beam Theory

A complete mathematical support of the 3D finite beam element for modeling of the micromechanical inertial measurement sensors and their components has been developed. The mathematical support includes mass matrix, stiffness matrix, Coriolis matrix, and centrifugal matrix. The mathematical support takes full account of the gyroscopic effect and the theory of Timoshenko. Employing of the Variational principles of mechanics and Lagrange's equation makes the process of derivation of the mathematical support clear, accurate and well-founded. The developed software was verified by a numerical simulation of the influence of the gyroscopic effect on the dynamics of the simplest model of the vibrating gyro. The results obtained due to the numerical simulation by using the developed mathematical support were compared with the results obtained in ANSYS, well-known engineering simulation software. The difference between these results was less than 5 %. This difference can be explained by the dissimilarity of the elements used in ANSYS and in the developed software. This paper shows that the developed mathematical support can be used for development of special software, which ensures, in contrast to the universal proprietary closed-source software such as ANSYS, a transparent implementation of the algorithms, a complete control of the progress of computing and significantly lower cost. Thus, the developed mathematical support for the three-dimensional finite element based on the theory of Timoshenko can be used to solve a wide range of problems of statics and dynamics, including the gyroscopic effect, e.g. in the area of research and development of the microelectromechanical sensors of the inertial information.

микромеханический гироскоп, микромеханический акселерометр, конечно-элементное моделирование, теория Тимошенко, вибрации, матрица масс, матрица жесткости, матрица Кориолиса, центробежная матрица, micromechanical gyroscope, micromechanical accelerometer, finite element modeling, Tymoshenko theory, vibration, mass matrix, stiffness matrix, Coriolis matrix, centrifugal matrix

1. Пешехонов В. Г. Современное состояние и перспективы развития гироскопических систем // Гироскопия и навигация. 2011. № 1. С. 3-17.

2. Распопов В. Я. Микромеханические приборы. М.: Машиностроение, 2007. 400 с.

3. Джашитов В. Э., Панкратов В. М. Датчики, приборы и системы авиакосмического и морского приборостроения в условиях тепловых воздействий / Под общ. ред. акад. РАН В. Г. Пешехонова. С.-Петербург: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2005. 404 с.

4. Образцов И. Ф., Савельев Л. М., Хазанов Х. С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985. 392 с.

5. Мяченков В. И., Мальцев В. П., Майборода В. П., Петров В. Б. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник / Под общ. Ред. В. И. Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

6. Барулина М. А. Частотные уравнения и собственные частоты элементов вибрационных микромеханических гироскопов на основе сдвиговой теории Тимошенко // Нано- и микросистемная техника. 2015. № 4. С. 21-31.

7. Барулина М. А. Построение матрицы масс трехмерного конечного элемента для моделирования динамики микромеханических датчиков инерциальной информации и их узлов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2015. Т. 16, № 5. С. 352-360.

8. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер.: Мех. тверд, деформ. тел. М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 5. 272 с.

9. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

10. Белишев М. И., Пестов А. Л. Прямая динамическая задача для балки Тимошенко // Записки научных семинаров ПОМИ. 2009. Т. 369. С. 16-47.

11. Тулкина А. Н. Определение частот и форм колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С. П. Тимошенко // Вестник СПбГУ (Серия 1). 2011. Вып. № 1. С. 144-154.

12. Metin O. Kaya Free vibration analysis of rotating Timoshenko beam by differential transform method // Aircraft Engineering and Aerospace Technology: An International Journal. 2006. Vol. 78 (3). P. 194-203.

13. Mircea Rades. Finite element analysis. Bucuresti: Printech, 2006. 274 р.

14. Kubba B. Use of the finite element method for the vibration analysis of rotation machinery. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy. University of Nottingham, 1981.

15. Przemieniecki J. S. Theory of matrix structural analysis. Dover, 1985. 468 c.

16. Bazoune A., Knulief Y. A. Shape functions of three-dimensional Timoshenko beam element // Journal of Sound and Vibration. 2003. 259 (2). P. 473-480.

17. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. 448 с.

18. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 824 с.

19. Барулина М. А. Свидетельство № 2015615559 от 20.05.2015 Федеральной службы по интеллектуальной собственности о государственной регистрации программ для ЭВМ: "Модуль для конечно-элементного моделирования на основе балочных элементов с учетом теории Тимошенко и гироскопических сил (TBElementlib)"

20. Джашитов В. Э., Панкратов В. М., Барулина М. А. Теоретические основы разработки и создания суперминиатюрного микромеханического многофункционального датчика инерциальной информации // Нано- и микросистемная техника. 2010. № 5 (118). С. 46-54.