Программное управление пространственным движением твердого тела, оптимальное в смысле минимума интегрального квадратичного относительно ускорений функционала, с использованием дуальных кватернионов

Рассмотрена задача оптимального программного управления пространственным движением свободного твердого тела (в частности, космического аппарата (КА)) в инерциальной системе координат с использованием дуальных кватернионов (параболических бикватернионов Клиффорда). Дуальная вектор-функция управления (дуальная композиция углового и линейного ускорений тела), построенного с использованием принципа максимума Понтрягина, не ограничена по дуальному модулю. Минимизируется интегральный квадратичный функционал в отношении углового и линейного ускорений, характеризующий затраты энергии на перевод тела из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за фиксированное время. Пространственное движение тела эквивалентно композиции углового (вращательного) и поступательного (орбитального) движений (теорема Шаля). Граничные условия по угловому и линейному положениям, а также по угловой и линейной скоростям тела являются произвольными. Поступательное (орбитальное) движение тела совместно с вращением тела вокруг его центра масс описано с применением двух новых бикватернионных дифференциальных уравнений. Законы изменения управляющей силы и управляющего момента получены с использованием построенных оптимальных законов изменения углового и линейного ускорений тела по алгебраическим формулам с помощью концепции решения обратных задач динамики. После применения принципа максимума (к построению оптимальных программных ускорений) исследуемая задача управления сведена к нелинейной дифференциальной краевой задаче двадцать восьмого порядка с подвижным правым концом траектории, которая была решена численно с помощью метода Левенберга—Марквардта. Рассмотрен случай большого отклонения в угловой мере между начальной и конечной ориентациями КА при наличии малого линейного поступательного перемещения КА (задача оптимального пространственного маневрирования КА). При этом распределение масс КА соответствует сферически симметричному твердому телу или международной космической станции (МКС), или КА "Спейс Шаттл". Построены графики изменения компонент дуального кватерниона (бикватерниона), описывающего ориентацию КА и его местоположение в инерциальной системе координат, компонент векторов угловой и линейной скоростей, компонент векторов углового и линейного ускорений (оптимальных управлений), компонент векторов управляющего момента и управляющей силы. Проанализированы полученные численные решения, установлены особенности и закономерности процесса оптимального пространственного маневрирования КА. Получена таблица значений компонент вектора управляющего момента в системе координат, связанной с КА, в начале, середине и в конце движения для всех трех КА при наличии поступательного (орбитального) перемещения.

1. Челноков Ю. Н. Управление пространственным движением твердого тела с использованием дуальных кватернионов // XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 20—24 августа 2019 г.): Сб. тр. в 4 тт. Т. 1: Общая и прикладная механика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2019. С. 288—290. DOI: 10.22226/2410-3535-2019-congress-v1.

2. Chelnokov Yu. N. Synthesis of Control of Spatial Motion of a Rigid Body Using Dual Quaternions // Mechanics of Solids. 2020. Vol. 55, N. 7. P. 59—80. DOI: 10.3103/S0025654420070080.

3. Chelnokov Yu. N. Controlling the Spatial Motion of a Rigid Body Using Biquaternions and Dual Matrices // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56, N. 1. P. 13—33. DOI: 10.3103/ S0025654421010064.

4. Челноков Ю. Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44, Вып. 1. С. 32—39.

5. Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения: Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 512 с.

6. Сапунков Я. Г., Молоденков А. В. Новый алгоритм квазиоптимальной переориентации космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, Вып. 1. С. 95—112. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-95-112.

7. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.

8. Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Едиториал УРСС, 2004. 64 с.

9. Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем, М.: Наука, 1971. 424 с.

10. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

11. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery В. P. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing. Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

12. Гасников А. В. Современные численные методы оптимизации. Метод универсального градиентного спуска. М.: МЦНМО, 2021. 272 с.

13. Банит Ю. Р., Беляев М. Ю., Добринская Т. А., Ефимов Н. И., Сазонов В. В., Стажков В. М. Определение тензора инерции международной космической станции по телеметрической информации. Препринт № 57. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2002. 19 с.

14. Бордовицына Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.

15. Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Кватернионные модели и алгоритмы решения общей задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, Вып. 1. С. 93—104. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-1-93-104.

16. Бордовицына Т. В., Авдюшев В. А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2016. 254 с.