Предельные свойства линейных систем управления, оптимальных по квадратичным критериям с одним варьируемым коэффициентом

Проводится сравнительный анализ свойств оптимальных систем управления линейными стационарными одноканальными объектами, отличительная особенность которых состоит в том, что полином числителя передаточной функции объекта является гурвицевым. Системы синтезируются двумя основными методами теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) — методами Летова—Калмана и А. А. Красовского, в которых используются функционалы качества на основе интегрального критерия, содержащего всего два слагаемых: квадрат сигнала управления объекта и квадрат его выходной координаты с весовым коэффициентом. q Исследуются предельные при q → ∞ свойства синтезируемых систем. Общим известным свойством этих систем, для краткости называемых системами Летова—Калмана и Красовского, является свойство их устойчивости при предельном значении весового коэффициента и, соответственно, бесконечно большом увеличении общего коэффициента усиления данных систем, которое для них обеспечивает получение заданного значения статической ошибки регулирования. Другие анализируемые свойства систем оказались существенно различными и даже взаимно противоположными, например, при предельных значениях q → ∞ коэффициенты оптимального регулятора Летова—Калмана не зависят от параметров объекта, а коэффициенты регулятора Красовского, наоборот, определяются исключительно параметрами объекта. Также отметим, что в отличие от систем управления Летова—Калмана, время переходных процессов систем Красовского при q → ∞ нельзя уменьшить менее некоторого конечного значения, несмотря на отсутствие ограничения на значение сигнала управления. В целях сочетания в одной системе управления указанных положительных, но противоречащих друг другу свойств анализируемых систем, предложен так называемый комбинированный метод АКОР. Его основная идея состоит в представлении сигнала управления объекта двумя слагаемыми, которые далее последовательно определяются применением двух основных методов теории АКОР, причем на первом этапе синтеза находится управление с использованием метода Летова—Калмана, что обеспечивает непосредственное применение комбинированного метода синтеза к неустойчивым объектам. Данный метод синтеза при использовании функционала качества с одним варьируемым весовым коэффициентом позволяет для рассматриваемых объектов управления порядка n m 5 конструировать системы с заданными значениями статической ошибки, времени регулирования, для которых перерегулирование не превышает значения 6,9 %.

1. Красовский А. А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987. 712 с.

2. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977. 272 с.

3. Филимонов Н. Б. Проблема качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 12. С. 2—10.

4. Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Динамическая коррекция процессов регулирования методом линейно-квадратичной оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 5. С. 9—14.

5. Kalman R. E. Contributions to the Theory of Optimal Control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. Vol. 5, N. 1. P. 102—119.

6. Летов A. M. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4. С. 406—411; № 5. С. 561—568; № 6. С. 661—665.

7. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. 256 с.

8. Калман P. Э. Когда линейная система управления является оптимальной? // Тpуды Амеpик. об-ва инж. механиков. 1964. Т. 86, Сеp. D, № 1. С. 69—84.

9. Беллман P., Калаба P. Обратная задача программирования в автоматическом управлении // Механика: Сб. пеpев. иностp. статей. 1964. Т. 88, № 6. С. 3.

10. Абдулаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

11. Александров А. Г. Свойства аналитически сконструированных линейный систем // Автоматика и телемеханика. 1975. № 10. С. 5—11.

12. Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

13. Кухаренко В. Н. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. № 4. С. 411—417.

14. Дегтярев Г. Л., Ризаев И. С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления. М.: Машиностроение, 1991. 304 с.

15. Кику А. Г., Шейко В. Ю. Выбор параметров квадратичных критериев в задачах оптимального управления линейными объектами // Адаптивні системи автоматичного управління. 2012. № 20 (40). С. 59—66.

16. Кику А. Г., Бурлаков В. М., Кику О. И., Сазанова С. В. Определение параметров регуляторов в задачах ква-дратичного оптимального управления состояния линейных динамических объектов // Адаптивні системи автоматичного управління. 2015. № 1 (26). С. 62—70.

17. Бобиков А. И., Шабирина А. В. Выбор весовых матриц для ЗСУР регулятора с помощью стайного алгоритма оптимизации // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. 2015. № 53. С. 77—83.

18. Романова И. К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2015. № 4. С. 105—129.

19. Pauwels E., Henrion D., Lasserre J.-B. Inverse optimal control with polynomial optimization. 20 Mar 2014 // Cornell University Library: website. URL: http://de.arxif.org/abs/1403.5180v1, accessed 01.03.2015.

20. Ловчаков В. И., Шибякин О. А. Модифицированные фильтры Баттерворса в решении обратной задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 2. С. 71—82.

21. Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. 736 с.

22. Квакернак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

23. Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator // Int. J. Contr. 1998. Vol. 47, N. 4. P. 947—951.

24. Гайдук А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.

25. Ким Д. П. Алгебраические методы синтеза САУ. М.: Физматлит, 2014, 164 с.

26. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. СПб.: Наука, 2000. 475 с.