Синтез систем управления максимальной робастной степени устойчивости на основе вершинных критических корневых диаграмм

Рассматривается характеристический полином системы автоматического управления с интервально-неопределенными параметрами, приведенный к интервальному виду (полином с интервальными коэффициентами). В один из коэффициентов входит настраиваемый параметр, который должен обеспечивать максимум минимальной степени устойчивости полинома при наихудшем сочетании его интервальных коэффициентов. Для определения значения этого параметра предлагается решить максиминную задачу на основе критерия максимальной робастной степени устойчивости. При этом целесообразно использовать свойство унимодальности степени устойчивости полинома по его коэффициентам, а также свойство вершин многогранника коэффициентов определять робастную степень устойчивости полинома. Решение поставленной задачи на основе указанного критерия предусматривает анализ вершинных критических корневых диаграмм. Они в отличие от обычных критических корневых диаграмм представляют собой расположенные на одной вертикальной прямой полюса, которые являются образами разных вершин многогранника коэффициентов. Для получения таких диаграмм следует среди вершин многогранника выбрать все возможные прообразы критических полюсов. Сделать это возможно на основе формирования и решения двойных интервальных угловых неравенств и угловых уравнений теории корневого годографа. При этом условием выбора указанных вершин является определение критическими полюсами робастной степени устойчивости полинома.
Из полученных для каждого критического полюса наборов вершин-кандидатов на робастную степень устойчивости составляются проверочные пары. Для всех проверочных пар вершин каждой критической корневой диаграммы формируются соответствующие пары вершинных характеристических полиномов. Для каждой из них составляется система четырех уравнений приравниванием к нулю вещественных и мнимых частей полиномов. В результате ее решения находится общая для пары полиномов степень устойчивости и соответствующее значение настраиваемого параметра. Из решений систем уравнений для всех пар полиномов выбирается значение максимальной робастной степени устойчивости интервального полинома и обеспечивающее ее значение настраиваемого параметра.
Приводится числовой пример синтеза системы максимальной робастной степени устойчивости.

1. Шубладзе А. М. Способы синтеза систем управления максимальной степени устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1980. № 1. С. 28—37.

2. Волков А. Н., Загашвили Ю. В. Метод синтеза систем автоматического управления с максимальной степенью устойчивости при наличии ограничений // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 12—19.

3. Воевода А. А., Чехонадских А. В. Построение списка критических расположений полюсов систем автоматического управления // Доклады Академии наук высшей школы Российской Федерации. 2014. № 2—3 (23—24). С. 7—18.

4. Татаринов А. В., Цирлин А. М. Задачи математического программирования, содержащие комплексные переменные, и предельная степень устойчивости динамических систем // Известия РАН, сеp. Теоpия и системы упpавления. 1995. № 1. С. 28—33

5. Ezangina T. A., Gayvoronskiy S. A. Ensuring Maximum Stability Degree in the Systems with Interval Parameters // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 752—753. P. 955—961.

6. Pushkarev M. I., Gaivoronsky S. A. Maximizing stability degree of control systems under interval uncertainty using a coefficient method // Reliable Computing. 2014. Vol. 19, N. 3. P. 248—260.

7. Кузнецов В. П., Кукареко Е. П., Ф. В. Фурман Ф. В. Численная процедура получения экспоненциальных оценок в линейных непрерывных системах с неопределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1987. № 5. С. 183—186.

8. Гусев Ю. М., Ефанов В. Н., Крымский В. Г. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). Анализ с использованием интервальных характеристических полиномов // Техническая кибернетика. 1991. № 1. С. 3—30.

9. Gayvoronskiy S. A., Ezangna T. A., Khozhaev I. V., Nesenchuk A. A. Analyzing robust stability of an interval control system on the basis of vertex polynomials//Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie. 2019. Vol. 5, N.5. P. 266—273

10. Gayvoronskiy S., Ezangina T., Khozhaev I., Kazmin V. Determination ofvertices and edges in a parametric polytope to analyze root indices of robustcontrol quality // International Journal Automation and Computing. 2019. Vol.16, N.6. P. 828—837