Синтез дискретных и гибридных нелинейных систем управления

Предлагается новый метод синтеза дискретных и гибридных систем управления нелинейными объектами с дифференцируемыми нелинейностями. Повышающиеся требования к качеству процессов управления и широкое распространение средств вычислительной техники обусловливают широкие возможности синтеза и реализации цифровых систем управления. Однако для решения этой задачи необходимы дискретные модели объектов управления. В случае линейных объектов такие модели создаются на основе z-преобразования, формул Эйлера или Тастина. В случае нелинейных объектов эти преобразования неприменимы, поэтому к настоящему времени разработано большое число приближенных методов дискретизации. Наибольшее распространение имеют преобразования Эйлера и Рунге—Кутты, но они приводят к удовлетворительным результатам лишь при очень малых периодах дискретизации. В случае систем автоматического управления это требует применения цифровых средств автоматизации с очень высоким быстродействием, что часто экономически нецелесообразно. Методы дискретизации с большим периодом чаще всего разрабатывались на базе разложения в ряды правых частей дифференциальных уравнений, преобразованных по Эйлеру. Здесь возникает, во-первых, проблема выбора необходимого числа членов ряда, подлежащих удержанию, а во-вторых, уже при третьем—четвертом порядке объекта расчетные соотношения оказываются чрезвычайно сложными.
Предлагаемый ниже метод отличается тем, что дискретизируются не уравнения нелинейных объектов в форме Коши, а соответствующие квазилинейные модели. При этом используется модифицированный метод трапеций, причем целью дискретизации является не наиболее точная аппроксимация исходных непрерывных уравнений объекта, а устойчивость замкнутой нелинейной системы управления при достаточно большом периоде дискретизации. Эта система синтезируется с применением алгебраического полиномиально-матричного метода синтеза нелинейных систем управления. В результате образуется гибридная нелинейная система с достаточно простыми алгебраическими расчетными выражениями. Предложенный подход позволяет создавать системы управления нелинейными непрерывными объектами с применением обычных вычислительных средств автоматизации. 

1. Гайдук А. Р., Плаксиенко Е. А. Анализ и аналитический синтез цифровых систем управления: монография. СПб.: Лань, 2022. 272 с.

2. Franklin G. F., Powel J. D., Workman M. L. Digital Control of Dynamic Systems. 3rd ed. Addison-Wesley: New York, 1998. 580 p.

3. Кван Н. В., Семичевская Н. П. Гибридные системы робастного управления нелинейными объектами // Вестник АмГУ. 2018. № 51(22). С. 33—47.

4. Kucuk S., Gungor B. D. Inverse kinematics solution of a new hybrid robot manipulator proposed for medical purposes // 2016 Medical Technologies National Congress (TIPTEKNO). Antalya. Turkey. 2016. P. 1—4. DOI: 10.1109/TIPTEKNO.2016.78630765

5. Шорников Ю. В., Бессонов А. В. Унифицированный подход к компьютерному моделированию гибридных систем // Информационные технологии моделирования и управления. 2015. № 3(93). С. 286—298.

6. Soroush M., Kravaris C. Discrete-time nonlinear controller synthesis by input/output linearization // AIChE Journal. 1992. Vol. 38, N. 12. P. 1923—1945.

7. Chen B., Solis F. Discretizations of nonlinear differential equations using explicit finite order method // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998. Vol. 90, N. 2. P. 171—183. doi: 10.1016/S0377-0427(98)00017-X

8. Zhang Yu., Gu J. Control Relevant Discretization of Nonlinear Delayed Non-Affine Systems Using the Matrix Exponential Algorithm // Metallurgical and Mining Industry. 2015. N. 12. P. 48—54.

9. Zong Y. A discretization method for the nonlinear state delay system // Information technology journal. 2014. Vol. 13, N. 6. P. 1222—1227. doi: 10.3923/itj.2014.1222.1227

10. Kazantzis N., Kravaris C. Time-discretization of nonlinear control systems via Taylor method // Computers and Chemical Engineering. 1999. Vol. 23, N. 9. P. 764—784. doi: 10.1016/ S0098-1354(99)00007-1

11. Nguyen-Van T., Hori N., Nahon M. A discrete-time model of nonlinear non-autonomous systems // 2014 American Control Conference (ACC). June 4—6, 2014. Portland. Oregon. USA. 2014. P. 5150—5155.

12. Meena G. D., Janardhanan J. Taylor_Li formulation based discretization of nonlinear systems. International Journal of Dynamics and Control. 2018. Vol. 6. P. 459—467. DOI: 10.1007/ s40435-017-0317-7

13. H’mida B., Dhaou S. Discretization of nonlinear continuous systems with time delay: State Space Approach // Proceedings of Engineering & Technology (PET). 2016. P.160—167.

14. Гайдук А. Р. Алгебраический синтез нелинейных стабилизирующих управлений // Синтез алгоритмов сложных систем. 1989. Вып. 7. С. 15—19.

15. Гайдук А. Р. Численный метод синтеза квазилинейных моделей нелинейных объектов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2021. Т. 22, № 6. С. 283—290. DOI: 10.17587/mau.22.283—290

16. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 290 с.

17. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с.

18. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. 232 с.

19. Гулюкина С. И., Уткин В. А. Задача управления парогенератором в условиях неопределенности при ограничениях на фазовые переменные и управления // Известия РАН, 2023. № 2. С. 123—139.

20. Гайдук А. Р., Плаксиенко В. С., Кабалан А. Е. А. Алгебраический полиномиально-матричный метод синтеза нелинейных астатических систем // Математические методы в технологиях и технике, 2022. № 1. С. 41—45. doi: 10.52348/2712-8873_MMTT_2022_1_41.

21. Гайдук А. Р. Непрерывные и дискретные динамические системы. М.: УМ и ИЦ "Учебная литература", 2004. 252 с.

22. Chen C. T. Linear System Theory and Design. 3rd ed. New York: Oxford University Press, 1999. 334 p.