Идентификация двух моделей нейронов ФитцХью—Нагумо на основе метода скоростного градиента и фильтрации

Статья посвящена задаче идентификации параметров двух моделей нейронов ФитцХью—Нагумо. Модель ФитцХью—Нагумо является упрощенной двухмерной версией модели Ходжкина—Хаксли и благодаря своей простоте имеет большую ценность для применения на практике. Однако при проведении эксперимента нередко измерению доступна только одна переменная модели ФитцХью—Нагумо — мембранный потенциал, а вторая переменная совокупного действия всех медленных ионных токов, отвечающих за восстановление потенциала покоя мембраны нервной клетки, и производные обеих переменных неизмеряемы. Это обстоятельство значительно усложняет задачу идентификации модели и, следовательно, описанный случай требует особенного внимания. В первую очередь, модель была преобразована к более удобной форме, в которой отсутствуют недоступные измерению переменные. Вместо неизмеряемых производных в уравнениях модели были использованы переменные, получающиеся при применении двойного реального фильтра дифференциатора. Для получившегося линейного уравнения была сформулирована цель идентификации, гарантирующая корректную настройку параметров, и построена дополнительная адаптивная система, параметрами которой являются оценки параметров исходной модели, а выходной переменной — оценка выхода линейного уравнения. Затем был выбран интегральный целевой функционал, и с помощью метода скоростного градиента был получен простой детерминированный алгоритм настройки параметров исходной модели двух нейронов ФитцХью—Нагумо, также обеспечивающий сходимость выходной переменной адаптивной системы к выходной переменной полученного линейного уравнения. Приводятся результаты компьютерного моделирования в среде Simulink, демонстрирующие быструю сходимость рассматриваем ых оценок к их истинным значениям для двух используемых наборов начальных данных и пара метров. Преимущества предлагаемого метода заключаются в том, что, во-первых, он значительно проще существующих решений: полученный алгоритм настройки параметров представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; а во-вторых, общая структура и число уравнений полученного решения не изменится при увеличении числа рассматриваемых моделей нейронов. Это означает, что предлагаемый подход потенциально может быть применен для моделирования активности большего числа нейронов и даже целых популяций.

1. Izhikevich E. M., Edelman G. M. Large-scale model of mammalian thalamocortical systems // PNAS. 2008. Vol. 105, N. 9. P. 3593—3598.

2. Srivastava P., Nozari E., Kim J. Z., Ju H., Zhou D., Becker C., Pasqualetti F., Pappas G. J., Bassett D. S. Models of communication and control for brain networks: distinctions, convergence, and future outlook // Network Neuroscience. 2020. Vol. 4, N. 4. P. 1122—1159.

3. Tyukin I., Steur E., Nijmeijer H., Fairhurst D., Song I., Semyanov A., van Leeuwen C. State and parameter estimation for canonic models of neural oscillators // International Journal of Neural Systems. 2010. Vol. 20, N. 3. P. 193—207.

4. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical Journal. 1961. Vol. 1. P. 445—466.

5. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon // Proceedings of the IRE. 1962. Vol. 50, N. 10. P. 2061—2070.

6. Izhikevich E. M., FitzHugh R. FitzHugh-Nagumo model // Scholarpedia. 2006. Vol. 1, N. 9. P. 1349.

7. Doruk R. O., Aboshar L. Estimating the Parameters of Fitzhugh—Nagumo Neurons from Neural Spiking Data // Brain Sci. 2019. Vol. 9, N. 12. P. 364.

8. Jensen A. C., Ditlevsen S., Kessler M, and Papaspiliopoulos O. Markov chain Monte Carlo approach to parameter estimation in the FitzHugh-Nagumo model // Physical Review E. 2012. Vol. 86, N. 4. P. 041114.

9. Che Y., Geng L., Han C., Cui S., Wang J. Parameter estimation of the FitzHugh-Nagumo model using noisy measurements for membrane potential // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2012. Vol. 22, N. 2. P. 023139.

10. Lou X., Cai X., Cui B. Parameter Estimation of a Class of Neural Systems with Limit Cycles // Algorithms. 2018. Vol. 11, N. 11. P. 169.

11. Wigren T. Nonlinear identification of neuron models // 015 IEEE Conference on Control Applications (CCA). 2015. P. 1340—1346.

12. Arnold A., Lloyd A. L. An approach to periodic, timevarying parameter estimation using nonlinear filtering // Inverse Problems. 2018. Vol. 34, N. 10. P. 105005.

13. Dong X., Wang C. Identification of the FitzHugh—Nagumo Model Dynamics via Deterministic Learning // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25, N. 12. P. 1550159

14. Fradkov A., Shepeljavyi A., Rybalko A. Identification of the FitzHugh-Nagumo Neuron Model Based on the Speed- Gradient and Filtering // Fourth International Conference Neurotechnologies and Neurointerfaces. 2022. P. 29—31.

15. Andrievskii B. R., Stotskii A. A., Fradkov A. L. Velocitygradient algorithms in control and adaptation problems // Automation And Remote Control. 1988. Vol. 49, N. 12. P. 1533—1564.