Десинхронизация и колебательность в возбудимых сетях ФитцХью—Нагумо

Аннотация

Изучение динамики сложных сетевых систем является одной из актуальных задач. Сетевые системы могут пребывать в различных состояниях, начиная от полной синхронизации, когда все системы в сети ведут себя согласованно, заканчивая полной десинхронизацией, т. е. полной рассогласованностью в функционировании систем. Явление синхронизации уже изучено достаточно хорошо: введены математические определения синхронизации, предложены алгоритмы исследования синхронизации, получены условия синхронизации для различных типов сетевых систем. Однако не так много работ на текущий момент посвящено исследованию десинхронизации. В данной работе вводится определение десинхронизации по выходу для сетей из нелинейных систем. Рассматриваются определения колебательности по Якубовичу, и устанавливается связь между колебательностью и десинхронизацией в сетях из возбудимых нелинейных систем. Возбудимые системы являются устойчивыми, поэтому колебания в них отсутствуют. Добавление связей между такими системами может привести к возникновению колебаний. Выводятся условия колебательности для диффузионно-связанных сетей из простейших моделей нейронов ФитцХью—Нагумо. Сначала рассматривается случай простейший сети из двух связанных систем ФитцХью—Нагумо, а затем результат обобщается на случай из нескольких систем. Спектр матрицы Лапласа играет ключевую роль в динамике таких сетей. Получено условие, связывающее параметры единичной системы, входящей в сеть, и собственные числа матрицы Лапласа, которое устанавливает, будет ли сеть колебательной или нет. Число систем, которые будут генерировать колебания в такой сети, зависит от числа собственных чисел матрицы Лапласа, удовлетворяющих полученным условиям. Полученные аналитические результаты подтверждаются проведенным численным моделированием. Приводятся результаты моделирования полной десинхронизации в сети, когда все системы начинают колебаться, а также химероподобного состояния, при котором колеблется лишь часть систем, а остальные находятся в покое.