Синтез динамических регуляторов по выходу с использованием функций модальной кластеризации в D-областях

Рассматривается алгоритм синтеза динамических регуляторов по выходу (модальных регуляторов), где моды замкнутой системы управления должны располагаться в заданной области (D-области) комплексной плоскости. Основное направление исследования — синтезировать динамические регуляторы минимального порядка, когда полная модальная управляемость по выходу отсутствует. Делается краткий экскурс во внешнюю алгебру Грассманна с целью определить внешнее произведение векторов, на основании чего поясняется операция биальтернированного произведения матриц. Использование биальтернированного произведения матриц позволило ввести функции модальной кластеризации комплексных мод, располагаемых в отдельных трансформируемых D-областях. Для обычного произведения матриц вводятся функции модальной кластеризации вещественных мод, располагаемых в отдельных трансформируемых D-областях. Функции модальной кластеризации преобразуют (трансформируют), соответственно, комплексные или вещественные точки данной ограниченной или неограниченной D-области комплексной плоскости в левую полуплоскость. В статье рассмотрены основные D-области, наиболее широко используемые на практике (диск, конус, степень устойчивости), представлены их матричные функции и функции модальной кластеризации вещественных и комплексных мод. Разработан алгоритм параметрической оптимизации динамических модальных регуляторов по D-областям. Рассмотрены практические примеры синтеза. Для объекта четвертого порядка (двухмассовая слабо демпфированная система с двумя интеграторами и параметрической неопределенностью) синтезирован динамический регулятор второго порядка, обеспечивающий робастное качество.

1. Wonham M. On pole assignment in multi-input, controllable linear system // IEEE Trans. Automatic Control. 1967. Vol. 12, N. 12. P. 660—665.

2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

3. Willems J. C., Hesselink W. H. Generic properties of the pole placement problem // Proceedings of the 7th IFAC Congress, Helsinki Finland. 1978. P. 1725—1729.

4. Yang K., Orsi R. Static output feedback pole placement via a trust region approach // IEEE Trans. Automatic Control. 2007. Vol. 52, N. 11.P. 2146—2150.

5. Furuta K., Kim B. Pole placement to a specified disc // IEEE Trans. Automatic Control. 1987. Vol. 32, N. 5. P. 423—427.

6. Brash F. M., Pearson J. B. Pole placement using dynamic compensator // IEEE Trans. Automatic Control. 1970. Vol. AC-15, N. 1. P. 34—43.

7. Rosenthal J., Wang X. A. Output feedback pole placement with dynamic compensators/ Report BS-R9516, ISSN 0924-0659. 1995. Amsterdam. 29 p.

8. Haddad W. M., Bernstein D. S. Controller design with regional pole constraints // IEEE Trans. Automatic Control. 1992. Vol. 37, N. 1. P. 54—69.

9. Gutman S., Jury E. J. A general theory for matrix rootclustering in subregions of the complex plane // IEEE Trans. Automatic Control. 1981. Vol. 26, N. 4. P. 853—863.

10. Gutman S., Schwartz G. A root-clustering theorem // IEEE Trans. Automatic Control. 1981. Vol. 26, N. 4. P. 940.

11. Dengqing C. Stability robustness measures of linear ststespace models with structured perturbations // Systems Science and Math. Sciences. 1998. Vol. 11, N. 1. P.32—38.

12. Saydy L., Tits A. L., Abed E. H. Guardian maps and generalized stability of parametrized families of matrices and polynomials // Mathematics of control, signals and systems. 1990. Vol. 3. P. 345—371.

13. Saussie D., Akhrif Q., Berard C., Saydy L. Longitudinal flight control synthesis with guardian maps// AIAA Guidance, Navigation and Control Conference. 10-13 August 2009, Chicago Illinois. P. 1—27.

14. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука. 1970. 528 с.

15. Stephanos C. Sur une extension du calcul des substitutions lineaires // J. Math.Pures Appl. 1900. Vol.6. P. 73—128.

16. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем / Пер. с англ. М.: Наука, 1979. 304 с.

17. Farin G., Hansford D. Practical linear algebra: a geometry toolbox. AK Peters Wellesley Massachusetts, 2005. 384 p.

18. Gutman S. Root clustering of a real matrix in an algebraic region // Int. J. Control. 1979. Vol. 29. P. 871—880.

19. Anderson D. O., Bose N. K., Jury E. I. Output feedback stabilization and related problems — solution via decision methods // IEEE Trans. Automatic Control. 1975. Vol. 20, N. 1. P. 53—66.

20. Краснощеченко В. И. Синтез робастного динамического H∞-регулятора низкого порядка с использованием линейных матричных неравенств и проекционных лемм // Мехатроника, автоматизация, управление. 2018. Т. 19, № 4. С.219—230.