Оптимальное управление при перелетах с малой тягой на вертикальные орбиты с орбит Ляпунова

В системе Земля—Луна существует множество различных семейств периодических орбит, такие как орбиты Ляпунова, гало-орбиты, вертикальные орбиты и т. д. Создание лунной космической станции требует, чтобы космический корабль имел возможность перелетать между этими орбитами. Орбиты Ляпунова использовались некоторыми миссиями и являются хорошо изученными орбитами, а периодические вертикальные орбиты могут обеспечивать большие амплитуды движения космического аппарата вне плоскости движения Луны, что позволяет избегать затенения орбит и использовать их как опорные для окололунных спутниковых систем связи. Современные исследователи в основном рассматривают использование двигателей большой тяги для перелета. По мере развития технологий электроракетных двигателей применение малой, но длительно действующей тяги для исследования дальнего космоса стало особенно актуальным. Это связано с высокими удельными характеристиками двигательных систем такого типа. В данной статье разработан алгоритм определения оптимального управления с двигателем малой тяги для перелета с орбиты Ляпунова на вертикальную орбиту. В качестве критериев оптимальности используется минимальное время перелета или минимальные затраты рабочего тела. В расчете для решения двухточечной краевой задачи теории оптимального управления используется алгоритм продолжения по параметру, который позволяет постепенно получить переход от некоторых простых результатов к конечной траектории перелета. Полученные результаты позволяют утверждать, что использование промежуточных осевых орбит позволяет использовать двигательные установки с меньшими уровнями тяги. При этом несколько увеличивается длительность перелета при практически неизменном расходе рабочего тела. Более того, использование метода гомотопии позволяет получить управление с уменьшенным расходом рабочего тела, при этом управление дросселированием двигателя становится дискретным. Результаты данного исследования и алгоритмы, предложенные в этой статье, могут быть использованы для определения оптимального программного управления и баллистического проектирования лунных миссий.

1. Parker J. S., Anderson R. L. Low-energy lunar trajectory design // JPL Deep-Space Communications and Navigation Series. Wiley, 2014. P. 103—106.

2. Zeng H., Zhang J. Modeling low-thrust transfers between periodic orbits about five libration points: Manifolds and hierarchical design //Acta Astronautica. 2018. Vol. 145. P. 408—423.

3. Аксенов С. А., Бобер С. А. Управление движением космического аппарата на гало-орбите при наличии ограничений на направления корректирующих маневров // Некоторые аспекты современных проблем механики и информатики. 2018. С. 166—174.

4. Шайхутдинов А. Р., Костенко В. И. Перспективы использования гало-орбиты в окрестности точки либрации L2 системы Солнце—Земля для наземно-космического радиоинтерферометра Миллиметрон // Космические исследования. 2020. Т. 58, № 5. С. 434—442.

5. Richardson D. L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points // Celestial mechanics. 1980. Vol. 22, N. 3. P. 241—253.

6. Rogov K. Computation of Libration point orbits and manifolds using collocation methods: дис. Universitat Politècnica de Catalunya, 2016.

7. Richardson D. L. A note on a Lagrangian formulation for motion about the collinear points // Celestial Mechanics. 1980. Vol. 22, N. 3. P. 231—236.

8. Grebow D. Generating periodic orbits in the circular restricted three-body problem with applications to lunar south pole coverage. MSAA Thesis, School of Aeronautics and Astronautics, Purdue University. 2006. P. 1—165.

9. Calleja R. C. et al. Boundary-value problem formulations for computing invariant manifolds and connecting orbits in the circular restricted three body problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2012. Vol. 114, N. 1. P. 77—106.

10. Xiangyu L., Dong Q., Yu C. Progress of three-body orbital dynamics study // Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2021. Vol. 53, N. 5. P. 1223—1245.

11. Петухов В. Г. Метод продолжения для оптимизации межпланетных траекторий с малой тягой // Космические исследования. 2012. Т. 50, № 3. С. 258—258.

12. Fain M. K., Starinova O. L. Ballistic optimization of the L1-L2 and L2-L1 low thrust transfers in the Earth-Moon system // 2015 7th International Conference on Recent Advances in Space Technologies (RAST). IEEE, 2015. P. 95—98.

13. Широбоков М. Г., Трофимов С. П. Перелеты с малой тягой на окололунные орбиты с гало-орбит вокруг лунных точек либрации L 1 и L 2 // Космические исследования. 2020. Т. 58, № . 3. С. 223—234.

14. Pérez-Palau D., Epenoy R. Fuel optimization for lowthrust Earth—Moon transfer via indirect optimal control // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2018. Vol. 130, N. 2. P. 1—29.

15. Zhang C. et al. Low-thrust minimum-fuel optimization in the circular restricted three-body problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2015. Vol. 38, N. 8. P. 1501—1510.

16. Pritchett R., Howell K., Grebow D. Low-thrust transfer design based on collocation techniques: applications in the restricted three-body problem // Astrodynamics Specialist Conference. Columbia River Gorge, Stevenson, Washington, August 21—24. 2017. P. 1—92.

17. Ильин И. С., Сазонов В. В., Тучин А. Г. Траектории перелета с низкой околоземной орбиты на многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце—Земля // Препринты Института прикладной математики им. МВ Келдыша РАН. 2012. № 66. 25 c.

18. Luo T., Xu M., Dong Y. Natural formation flying on quasihalo orbits in the photogravitational circular restricted three-body problem // Acta Astronautica. 2018. Vol. 149. P. 35—46.

19. Pan X., Pan B., Li Z. Bounding Homotopy Method for Minimum-Time Low-Thrust Transfer in the Circular Restricted Three-Body Problem // The Journal of the Astronautical Sciences. 2020. Vol. 67. P. 1220—1248.

20. Saghamanesh M., Baoyin H. A robust homotopic approach for continuous variable low-thrust trajectory optimization // Advances in Space Research. 2018. Vol. 62. N. 11. P. 3095—3113.

21. Петухов В. Г., Чжоу Ж. Расчет возмущенной импульсной траектории перелета между околоземной и окололунной орбитами методом продолжения по параметру // Вестник Московского авиационного института. 2019. Т. 26, № 2. С. 155—165.

22. Mingotti G., Topputo F., Bernelli-Zazzera F. Combined Optimal Low—Thrust and Stable—Manifold Trajectories to the Earth-Moon Halo Orbits // AIP Conference Proceedings. American Institute of Physics, 2007. Vol. 886, N. 1. P. 100—112.

23. Shampine L. F. et al. Solving boundary value problems for ordinary differential equations in MATLAB with bvp4c // Tutorial notes. 2000. Vol. 2000. P. 1—27.

24. Higham D. J., Higham N. J. MATLAB guide. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2005.

25. Старинова О. Л. Расчет межпланетных перелетов космических аппаратов с малой тягой. Самара: Самарский научный центр РАН, 2007. 196 c.