Феномен Фуллера в задачах аналитического конструирования оптимальных регуляторов

Обсуждается проблема синтеза оптимальной управляемой системы с квадратичным критерием качества, имеющей бесконечное число точек переключения на конечном интервале времени. В теории оптимального управления данное явление получило название "феномен Фуллера". Проблема Фуллера уже более 60 лет является весьма привлекательной, актуальной и до сих пор не решенной, особенно для нелинейных многомерных динамических систем высокого порядка и, тем более, с получением решения в явном аналитическом виде для практической реализации в системе управления.

Целью настоящей работы является демонстрация теоретических аспектов и практических особенностей метода синтеза оптимальных систем управления по критерию быстродействия на примере решения задач, связанных с феноменом Фуллера.

При решении данных задач используется принятый в классическом вариационном исчислении и принципе максимума Понтрягина прием введения в рассмотрение новой дополнительной фазовой переменной, которая сопоставляется интегральному критерию качества и расширяет исходный фазовый вектор объекта. В результате, если для объекта управления известно наилучшее оптимальное по быстродействию управление, то данный прием позволяет весьма просто получить более худшее оптимальное по точности управление путем включения в динамику объекта управления критерия точности Фуллера. Следует отметить, что важным приобретением здесь является повышение точности до оптимального значения и снижение установившейся ошибки регулирования до нулевого значения, причем все коэффициенты ошибок (по положению, скорости, ускорению, рывку и т. д.) равны нулю при наличии внешних и внутренних помех.

Приводятся постановки и решения классической и модифицированной задач Фуллера. В качестве иллюстрирующих примеров рассмотрены традиционные задачи синтеза оптимального по быстродействию управления, решенные в известных работах.

1. Сухинин Б. В., Сурков В. В. Аналитическое конструирование робастных оптимальных по быстродействию систем управления с бесконечно большим коэффициентом усиления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2020. Т. 21, № 8. С.453—463.

2. Filimonov A. B., Filimonov N. B. Synthesis of Automatic Systems with Standard Dynamics on the Basis of Formalism Linear-Quadratic Optimization // Proc. of the Internat. Russian Automation Conference (RusAutoCon-2019). IEEE. 2019. 8867718. P. 148—152.

3. Filimonov A. B., Filimonov N. B. Synthesis of Regulation by the Method of Linear-Square Approximate Correction // Proc. of 2019 3rd Internat. Conference on Control in Technical Systems (CTS-2019). IEEE. 2019. 8973309. P. 3—7.

4. Красовский А. А. Проблемы физической теории управ-ления // Автоматика и телемеханика. 1990. № 11. С. 3—28.

5. Филимонов Н. Б. Методологический кризис "всепо-беждающей математизации" современной теории управления // Мехатроника, автоматизация управление. 2016. Т. 17, № 5. С. 291—301.

6. Сухинин Б. В., Сурков В. В. Феномен Фуллера в теории и практике оптимального управления // Journal of Advanced in Technical Science. 2021. Vol. 2, Iss. 23. P. 94—99.

7. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Труды I конгресса ИФАК. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 584—605.

8. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Труды Математического института АН СССР. 1991. Т. 197. С. 85—166.

9. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of Chattering Control with Applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering. Birkhäuser, Boston, MA, 1994. 244 p.

10. Телеснин В. Р. Об одной задаче оптимизации переходных процессов // Труды МИАН. 1984. Т. 166. С. 235—244.

11. Дифференциальныеуравнения. Некоторые математические задачи оптимального управления. Сборник статей под ред. акад. Е. Ф. Мищенко // Труды математического института им. В. А. Стеклова. М.: Наука, 2001. С. 87—150.

12. Павленок Н. С. Задача оптимального управления линейной системой по квадратичному критерию качества // Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация: Матер. Междунар. науч. конф., посвященной 100-летию со дня рождения акад. Е. А. Барбашина. Белорус. гос. ун-т. Минск: БГУ, 2018. С. 173—175.

13. Майкова О. Е. Субоптимальные режимы в задаче Фуллера // Тр. МИАН. 2002. Т. 236. С. 226—229.

14. Chyba M., Haberkorn T. Autonomous Underwater Vehicles: Singular Extremals and Chattering. In: Systems, Control, Modeling and Optimization (Eds. F. Cergioli et al.), Springer Verlag, 2003. P. 103—113.

15. Наумов Г. В. Анализ задач оптимального управления с учащающимися переключениями инвариантно-групповыми и численными методами: дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МИФИ (ГУ), 2005. 93 с.

16. Yang J. Timing of Effort and Reward: Three-Sided Moral Hazard in a Continuous-time Model // Management Science. 2010. Vol. 56. P. 1568—1583.

17. Schättler H., Ledzewicz U. Synthesis of Optimal Controlled Trajectories with Chattering Arcs // Dynamics of Continuous. 2012. N. 9. P. 161—186.

18. Борисов В. Ф. Экстремали с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей высоких порядков: дис. ... д-р физ.-мат наук. М.: МГУ им. М,В. Ломоносова. 2015. 256 с.

19. Кочетков С. А. Разработка методов повышения точности регулирования в релейных системах управления: дис. ... д-р тех. наук. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2015. 297 с.

20. Киселев Ю. Н., Аввакумов С. Н. Решение задачи Фуллера на основе принципа максимума Понтрягина // Системный анализ: моделирование и управление: Материалы Междунар. конф., посвященной памяти акад. А. В. Кряжимского, М.: Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018. С. 55—58

21. Сурков В. В., Сухинин Б. В., Ловчаков В. И., Соловьев А. Э. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критериям точности, быстродействию, энергосбережению. Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 300 с.

22. Бор-Раменский А. Е., Воронецкий Б. Б., Святославский В. А. Быстродействующий электропривод. М.: Энергия, 1969. 168 с.

23. Клюев А. С., Колесников А. А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 240 с.