novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.22.12-18novtexmech-924Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGОб устойчивости по части переменных нелинейных дискретных систем со случайными параметрамиOn Stability with Respect to a Part of the Variables for Nonlinear Discrete-Time Systems with a Random DisturbancesВоротниковВ. И.VorotnikovV. I.

Vorotnikov Vladimir I., Doctor Sci. (Phys.&Math.), Professor

Sochi, 354340

vorotnikov-vi@rambler.ruМартышенкоЮ. Г.MartyshenkoYu. G.

канд. физ.-мат. наук, доц.

Москва

Moscow, 119991

j-mart@mail.ruСочинский институт Российского университета дружбы народовРоссияSochi Institute of the Peoples’ Friendship University of RussiaRussian FederationРоссийский государственный университет нефти и газаРоссияRussian State University of Oil and GasRussian Federation2021120120212211218Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20212021Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/924

Рассматривается нелинейная дискретная (конечно-разностная) система уравнений, подверженных воздействию случайного процесса типа "белого" шума, являющаяся разностным аналогом систем стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито. Повышенный интерес к таким системам связан с их использованием в цифровых системах управления, в финансовой математике, а также с численным решением систем стохастических дифференциальных уравнений. Задачи устойчивости относятся к основным задачам качественного анализа и синтеза рассматриваемых систем. При этом в основном изучается обладающая большой общностью задача устойчивости нулевого положения равновесия, в рамках которой устойчивость анализируется по отношению ко всем переменным, определяющим состояние системы. Для ее решения разработан дискретно-стохастический вариант метода функций Ляпунова. Центральным здесь является введенное в работах школы Н. Н. Красовского понятие усредненной конечной разности функции Ляпунова, для вычисления которой достаточно знать лишь правые части системы и вероятностные характеристики случайного процесса. В данной работе для рассматриваемого класса систем дается постановка более общей задачи устойчивости нулевого положения равновесия: не по всем, а по заданной части определяющих его переменных. Для случая детерминированных систем обыкновенных дифференциальных уравнений постановка этой задачи восходит к классическим работам А. М. Ляпунова и В. В. Румянцева. Для решения поставленной задачи используется дискретно-стохастический вариант метода функций Ляпунова при соответствующей конкретизации требований к функциям Ляпунова. В целях расширения возможностей используемого метода наряду с основной функцией Ляпунова рассматривается дополнительная (векторная, вообще говоря) вспомогательная функция для корректировки области, в которой строится основная функция Ляпунова.

Nonlinear discrete (finite-difference) system of equations subject to the influence of a random disturbances of the "white" noise type, which is a difference analog of systems of stochastic differential equations in the Ito form, is considered. The increased interest in such systems is associated with the use of digital control systems, financial mathematics, as well as with the numerical solution of systems of stochastic differential equations. Stability problems are among the main problems of qualitative analysis and synthesis of the systems under consideration. In this case, we mainly study the general problem of stability of the zero equilibrium position, within the framework of which stability is analyzed with respect to all variables that determine the state of the system. To solve it, a discrete-stochastic version of the method of Lyapunov functions has been developed. The central point here is the introduction by N. N. Krasovskii, the concept of the averaged finite difference of a Lyapunov function, for the calculation of which it is sufficient to know only the right-hand sides of the system and the probabilistic characteristics of a random process. In this paper, for the class of systems under consideration, a statement of a more general problem of stability of the zero equilibrium position is given: not for all, but for a given part of the variables defining it. For the case of deterministic systems of ordinary differential equations, the formulation of this problem goes back to the classical works of A. M. Lyapunov and V. V. Rumyantsev. To solve the problem posed, a discrete-stochastic version of the method of Lyapunov functions is used with a corresponding specification of the requirements for Lyapunov functions. In order to expand the capabilities of the method used, along with the main Lyapunov function, an additional (vector, generally speaking) auxiliary function is considered for correcting the region in which the main Lyapunov function is constructed.

система нелинейных дискретных (конечно-разностных) уравненийслучайные возмущения типа "белого" шумаустойчивость по части переменныхметод функций Ляпуноваnonlinear stochastic discrete-time (difference) systemspartial stabilityLyapunov functions methodReferencesКац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, Вып. 5. С. 809—823.Kats I. Ya., Krasovskii N. N. On the Stability of Systems with Random Parameters, J. Appl. Math. Mech., 1960, vol. 24, no. 5, pp. 1225—1246 (in Russian).Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. 200 c.Kushner H. J. Stochastic Stability and Control, New York, Acad. Press, 1967. 161 p. (in Russian).Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. 368 c.Khasminskii R. Z. Stochastic Stability of Differential Equations, Berlin, Springer-Verlag, 2012, 360 p. (in Russian).Ахметкалиев T. О связи между устойчивостью стохастических систем разностных и дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1, № 8. С. 1016—1026.Ahmetkaliev T. Connection Between Stability of Stochastic Difference Equations and Stochastic Differential Equations, Differential Equations, 1965, vol. 1, no. 8, pp. 790—798 (in Russian).Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 309 c.Halanay A., Wexler D. Qualitative Theory of Impulsive Systems, Bucharest, Ed. Acad. RPR, 1968. 312 p. (in Russian).Константинов В. М. Об устойчивости стохастических разностных систем // Проблемы передачи информации. 1970. Т. 6, Вып. 1. С. 81—86.Konstantinov V. M. The stability of Stochastic Difference Equations, Problems of Information Transmission, 1970, vol. 6, no. 1, pp. 70—75 (in Russian).Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурой. М.: Физматлит, 1994. 304 с.Pakshin P. V. Discrete Systems with a Random Parametrs and Structure, Moscow, Fizmatlit, 1994, 304 p. (in Russian).Ажмяков В. В., Пятницкий Е. С. Нелокальный синтез систем стабилизации дискретных стохастических объектов управления // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 68—78.Azhmyakov V. V., Pyatnitskiy E. S. Nonlocal Synthesis of Systems for Stabilization of Discrete Stochastic Controllable Objects, Autom. Remote Control, 1994. vol. 55, no. 2, pp. 202—210.Барабанов И. Н. Построение функций Ляпунова для дискретных систем со случайными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1995. № 11. С. 31—41.Barabanov I. N. Construction of Lyapunov Functions for Discrete Systems with Stochastic Parameters, Autom. Remote Control, 1995. vol. 56, no. 11, pp. 1529—1537.Jian X. S., Tian S. P., Zhang T. L, Zhang W. H. Stability and Stabilization of Nonlinear Discrete-Time Stochastic Systems // Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2019. Vol. 29, N. 18. P. 6419—6437.Jian X. S., Tian S. P., Zhang T. L, Zhang W. H. Stability and Stabilization of Nonlinear Discrete-Time Stochastic Systems, Int. J. Robust and Nonlinear Control, 2019, vol. 29, no. 18, pp. 6419—6437.Qin Y., Cao M., Anderson B. D. O. Lyapunov Criterion for Stochastic Systems and its Applications in Distributed Computation // IEEE Trans. Autom. Control. 2020. Vol. 65, N. 2. P. 546—560.Qin Y., Cao M., Anderson B. D. O. Lyapunov Criterion for Stochastic Systems and its Applications in Distributed Computation, IEEE Trans. Autom. Control, 2020, vol. 65, no. 2, pp. 546—560.Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 c.Rumyantsev V. V., Oziraner A. S. Stability and Stabilization of Motion with Respect to a Part of the Variables, Moscow, Nauka, 1987, 256 p. (in Russian).Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный Мир, 2001. 320 с.Vorotnikov V. I., Rumyantsev V. V. Stability and Control with Respect to a Part of the Phase Coordinates od Dynamic Systems: Theory, Methods and Applications, Moscow, Nauchnyj mir, 2001, 320 p. (in Russian).Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.Fradkov A. L., Miroshnik I. V., Nikiforov V. O. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Systems, Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1999, 528 p.Воротников В. И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3—59.Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control: the State of the Art and Developing Prospects, Automation and Remote Control, 2005, vol. 66, no. 4, pp. 511—561.Mao X. R. Stochastic Differential Equations. 2 ed. Oxford: Woodhead Publ., 2008. 440 p.Mao X. R. Stochastic Differential Equations, Oxford, Woodhead Publ., 2008. 440 p.Rajpurohit T., Haddad W. M. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback Control for Stochastic Dynamical Systems // J. Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2017. Vol. 139, N. 9. Paper DS-15-1602.Rajpurohit T., Haddad W. M. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback Control for Stochastic Dynamical Systems, J. Dynamic Systems, Measurement, and Control, 2017, vol. 139, no. 9, Paper DS-15-1602.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной устойчивости по вероятности нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 2019. № 5. С. 86—98.Vorotnikov V. I., Martyshenko Y. G. On the Partial Stability in Probability of Nonlinear Stochastic Systems, Autom. Remote Control, 2019, vol. 80, no. 5, pp. 856—866.Haddad W. M, Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach. Princeton: Princeton University Press, 2008. 976 p.Haddad W. M, Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton: Princeton University Press, 2008, 976 p.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных систем // Мехатроника. Автоматизация. Управление. 2017. Т. 18, № 6. С. 371—375.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. K zadache chastichnoy ustoychivosti nelineynykh diskretnykh sistem (To Problem of Partial Stability of Nonlinear Discrete-Time Systems), Mekhatronika, Avtomatizatsija, Upravlenie, 2017, vol. 18, no. 6, pp. 371—375 (in Russian).Воротников В. И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных "частичных" положений равновесия нелинейных динамических систем // Доклады РАН. 2003. Т. 389, № 3. С. 332—337.Vorotnikov V. I. Partial-Equilibrium Position of Nonlinear Dynamical Systems: their Stability and Stability with Respect to Some of Variables, Doklady Physics, 2003, vol. 48, no. 3, pp. 151—155 (in Russian).Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. Т. 51, Вып. 5. С. 23—31.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. On the Partial Stability of Nonlinear Dynamical Systems, J. Comput. Syst. Sci. Int., 2010, vol. 49, no. 5, pp. 702—709 (in Russian).Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. Об устойчивости по части переменных "частичных" положений равновесия систем с последействием // Математические заметки. 2014. Т. 96, Вып. 4. С. 496—503.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. Stability in a Part of Variables of "Partial" Equilibria of Systems with Aftereffect, Mathematical Notes, 2014, vol. 96, no. 3, pp. 477—483 (in Russian).Юдаев Г. С. Об устойчивости стохастических разностных систем // Изв. Вузов. Математика. 1979. № 8. С. 74—78.Yudaev G. S. Stability of Stochastic Difference Systems, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika, 1979, no. 8, pp. 74—78 (in Russian).Phillis Y. A. y-Stability and Stabilization in the Mean of Discrete-Time Stochastic Systems // Int. J. Control. 1984. Vol. 40, N. 1. P. 149—160.Phillis Y. A. y-Stability and Stabilization in the Mean of Discrete-Time Stochastic Systems, Int. J. Control, 1984, vol. 40, no. 1, pp. 149—160.Шаров В. Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части переменных // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 63—71.Sharov V. F. Stability and Stabilization of Stochastic Systems vis-a-vis Some of the Variables, Automation and Remote Control, 1978, vol. 39, no. 11, pp. 1629—1636.Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448 p.Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control, Boston, Birkhauser, 1998. 448 p.Ignatyev O. Partial Asymptotic Stability in Probability of Stochastic Differential Equations // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol. 79, N. 5. P. 597—601.Ignatyev O. Partial Asymptotic Stability in Probability of Stochastic Differential Equations, Statistics & Probability Letters, 2009, vol. 79, no. 5, pp. 597—601.Зуев А. Л., Игнатьев А. О., Ковалев А. М. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Киев: Наукова Думка, 2013. 430 с.Zuyev A. L., Ignatyev A. O., Kovalev A. M. Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, Kiev, Naukova dumka, 2013, 430 p.Kao Y., Wang C., Zha F., Cao H. Stability in Mean of Partial Variables for Stochastic Reaction—Diffusion Systems with Markovian Switching // J. of the Franklin Institute. 2014. Vol. 351, N. 1. P. 500—512.Kao Y., Wang C., Zha F., Cao H. Stability in Mean of Partial Variables for Stochastic Reaction—Diffusion Systems with Markovian Switching, J. of the Franklin Institute, 2014, vol. 351, no. 1, pp. 500—512.Socha L., Zhu Q. X. Exponential Stability with Respect to Part of the Variables for a Class of Nonlinear Stochastic Systems with Markovian Switching // Math. Comp. Simul. 2019. Vol. 155. P. 2—14.Socha L., Zhu Q. X. Exponential Stability with Respect to Part of the Variables for a Class of Nonlinear Stochastic Systems with Markovian Switching, Math. Comp. Simul., 2019, vol. 155, pp. 2—14.Socha L. Stability and Positivity with Respect to Part of the Variables for Positive Markovian Jump Systems // Bull. Polish Academy of Sciences: Technical Sciences. 2019. Vol. 67, N. 4. P. 769—775.Socha L. Stability and Positivity with Respect to Part of the Variables for Positive Markovian Jump Systems, Bull. Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, 2019, vol. 67, no. 4, pp. 769—775.Sultanov O. Capture into Parametric Autoresonance in the Presence of Noise // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2019. Vol. 75. P. 14—21.Sultanov O. Capture into Parametric Autoresonance in the Presence of Noise, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2019, vol. 75, pp. 14—21.Zuyev A., Vasylieva I. Partial Stabilization of Stochastic Systems with Application to Rotating Rigid Bodies // IFACPapersOnLine. 2019. Vol. 52, N. 16. P. 162—167.Zuyev A., Vasylieva I. Partial Stabilization of Stochastic Systems with Application to Rotating Rigid Bodies, IFAC-PapersOnLine, 2019, vol. 52. no. 16, pp. 162—167.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.