novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.21.499-510novtexmech-874Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGСинтез линейных систем управления с максимальным быстродействием и заданным перерегулированиемSynthesis of Linear Control Systems with Maximum Speed and Given OvershootЛовчаковВ. И.LovchakovV. I.

Доктор технических наук, профессор

Full Professor, department of electrical engineering and electrical equipment

Tula, 300600

lovvi50@mail.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202007092020219499510Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20202020Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/874

Исследуется решение так называемой задачи максимального быстродействия линейной системы управления, в которой, в отличие от классической задачи оптимального быстродействия с управлением релейного характера, для линейного объекта определяется линейный алгоритм управления, обеспечивающий предельное быстродействие системы. Эта задача имеет важное прикладное значение вследствие широкого применения на практике линейных законов управления. Задача сформулирована применительно к непрерывным объектам управления высокого порядка, описываемым соответствующей передаточной функцией или эквивалентной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Время переходного процесса (время регулирования) синтезируемой системы понимается в смысле классической теории автоматического управления и определяется с использованием "трубки", значение которой принимается, в отличие от известных работ, равной требуемому (желаемому) небольшому значению перерегулирования системы в несколько процентов (2...5 %). Равенство величин, характеризующих "трубку" и желаемое перерегулирование синтезируемой системы, обеспечивает в дальнейшем однозначность решения задачи максимального быстродействия, которая ставится в следующей формулировке: требуется найти линейный алгоритм обратной связи, обеспечивающий замкнутой системе регулирования заданный порядок астатизма и переводящий объект управления из начального состояния в конечное, определяемое постоянным сигналом задания регулятора, с минимальным значением времени переходных процессов системы и заданным значением перерегулирования при выполнении ограничения на сигнал управления.

В настоящее время данная задача решена приближенно алгебраическим методом синтеза систем управления при определении желаемой передаточной функции конструируемой системы на основе типовых (эталонных) нормированных передаточных функций. Приближенный характер решения определяется тем, что эталонные передаточные функции, применяемые при синтезе быстродействующих систем, установлены эмпирически. В данной работе предлагается математически обоснованное решение задачи максимального быстродействия с использованием теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов. Максимальное быстродействие и заданные ограничения на перерегулирование и сигнал управления в синтезируемой системе обеспечиваются предложенным способом выбора весовых коэффициентов квадратичного функционала качества. Подчеркнем, что предложенный метод синтеза быстродействующих систем в отличие от алгебраического метода применим к более широкому классу объектов управления: как минимально-фазовым, так и не минимально-фазовым, как содержащим нули, так и не содержащим. Метод иллюстрируется примером синтеза быстродействующей системы управления четвертого порядка, содержащим результаты ее моделирования.

We study the solution of the so-called maximum speed problem of a linear control system, in which, unlike the classical optimal speed problem with a relay-type control, a linear control algorithm is determined for a linear object that provides the maximum speed of the system. It is of practical importance due to the widespread practical application of linear control laws. The problem is formulated in relation to continuous, one-dimensional high-order control objects described by the corresponding transfer function or an equivalent system of ordinary differential equations in a certain phase space. The time of the transition process ttp of the designed system is understood in the sense of the classical theory of automatic control and is determined using the zone  D = spr   4,321 %, equal to the given (desired) value of the overshoot of the synthesized system. This overshoot corresponds to an oscillatory link with a damping coefficient   √2/2  — the Butterworth filter of the second order. Accordingly, the maximum performance problem is put in the following formulation: it is required to find a linear feedback algorithm that provides the closed control system with a given astatism order na and transferring the control object from the initial state to the final one, determined by the constant signal of the regulator’s task, with the minimum value of transient time ttp and set value overshoot s = s pr when performing a constraint on the control signal |u(t)| m umax. At present, this problem has been solved by an approximately algebraic method of synthesizing linear control systems in determining the desired transfer function of a projected closed system based on typical (reference) normalized transfer functions (NTF). The approximate nature of the decision is determined by the fact that the NTF used in the synthesis of high-speed systems are established empirically. This paper proposes a mathematically sound solution to the problem of maximum speed using the theory of analytical design of optimal controllers (ADOC). The maximum speed and set limits on the overshoot and the value of the control signal in the synthesized system are provided by the proposed method for selecting the weights of the quadratic quality functional. We emphasize that the proposed method for the synthesis of high-speed systems, in contrast to the algebraic method, is applicable to a wider class of control objects: both minimal-phase and non-minimal-phase, as containing zeroes, and not. The method is illustrated by an example of the synthesis of a high-speed fourth-order control system containing the results of its simulation.

линейный одномерный объектбыстродействиеперерегулированиеастатизм системыаналитическое конструирование оптимального регуляторафильтры Баттерворсаlinear one-dimensional objectspeedovershootsystem astatismanalytical design of optimal controllerButterworth filtersReferencesПонтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит, 1961. 302 с.Pontriagin L. S., Boltianskii V. G., Gamkrelidze R. V., Mishchenko E. F. Mathematical theory of optimal processes, Moscow, Fizmatlit Publ., 1961, 302 p (in Russian).Athans M., Falb P. L. Optimal Control, An Introduction to the Theory and Its Applications. New York: McGraw-Hill, 1966.Atans M., Falb P. L. Optimal Control, An Introduction to the Theory and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1966.Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.Ivanov V. A., Faldin N. V. theory of optimal control systems, Moscow, Nauka Publ., 1981, 336 p (in Russian).Клюев А. С., Колесников А. А. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982. 240 с.Kliuev A. S., Kolesnikov A. A. The optimization of control systems by time-optimality, Moscow, Energoizdat Publ., 1982. 240 p. (in Russian).Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Гибридная схема решения задачи линейного быстродействия на основе формализма полиэдральной оптимизации // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 7. С. 3—9.Filimonov A. B., Filimonov N. B. The hybrid scheme of the task solution of linear time-optimality based on the formalism of the polyhedral optimization, Mekhatronika, Avtomatizatsiia, Upravlenie, 2014, no.7 , pp. 3—9 (in Russian).Каюмов О. Р. Глобально управляемые механические системы. М.: Физматлит, 2007. 168 с.Kayumov O. R. Globally controlled mechanical systems, Moscow, Fizmatlit Publ., 2007, 168 p (in Russian).Weinberg L. Network Analysis and Synthesis. New York: McGraw-Hill, 1962.Weinberg L. Network Analysis and Synthesis, McGrawHill, New York, 1962.Абдулаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.Abdulaev N. D., Petrov Yu. P. Theory and design methods of optimal regulators, Leningrad, Energoatomizdat Publ., 1985. 240 p (in Russian).Александров А. Г., Паленов М. В. Состояние и перспективы развития адаптивных ПИД-регуляторов // АиТ. 2014. № 2. С. 16—30.Aleksandrov A. G., Palenov M. V. Status and development prospects of adaptive PID controllers, AiT Publ., 2014, no. 2, pp. 16—30 (in Russian).Ким Д. П. Синтез оптимальных по быстродействию непрерывных линейных регуляторов // АиТ. 2009. № 3. С. 5—16.Kim D. P. The synthesis of optimal time-optimality continuous linear controller, AiT Publ., 2009, no. 3, pp. 5—16 (in Russian).Ким Д. П. Алгебраический метод синтеза линейных непрерывных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011. № 1. С. 9—15.Kim D. P. The algebraic method of the synthesis of linear continuous control systems. Mekhatronika, avtomatizatsiia, upravlenie, 2011, no. 1, pp. 9—15 (in Russian).Ким Д. П. Определение желаемой передаточнойфункции при синтезе систем управления алгебраическим методом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2011 № 5. С. 15—21.Kim D. P. Finding the desirable transfer function in the synthesis of control systems by the algebraic method. Mekhatronika, Avtomatizatsiia, Upravlenie, 2011, no. 5, pp. 15—21 (in Russian).Ким Д. П. Алгебраические методы синтеза САУ. М.: Физматлит, 2014, 164 с.Kim D. P. Algebraic methods for the synthesis of ACS, Moscow, Fizmatlit Publ., 2014. 164 p. (in Russian).Ким Д. П. Аналитический метод синтеза астатических непрерывных систем управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. № 5. С. 274—279.Kim D. P. Analytical method for the synthesis of static static control systems, Mekhatronika, Avtomatizatsiia, Upravlenie, 2019, no. 5, pp. 274—279 (in Russian).Гайдук А. Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.Gajduk A. R. Theory and methods of analytical synthesis of automatic control systems (polynomial approach), Moscow, Fizmatlit Publ., 2012. 360 p. (in Russian).Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. / К. А. Пупков. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. 736 с.Pupkov K. A. Methods of classical and modern control theory: 3 volumes, Moscow, MGTU im. N. E. Baumana Publ., 2000. 736 p. (in Russian).Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Гостехиздат, 1962.Krasovskii A. A., Pospelov G. S. Automatics and technical cybernetics fundamentals, Moscow, Gostekhizdat Publ., 1962 (in Russian).Ловчаков В. И., Мозжечков В. А. Синтез линейных систем управления с максимальным быстродействием // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 4. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. С. 149—159.Lovchakov V. I., Mozzhechkov V. A. Synthesis of linear control systems with maximum speed, Izvestiya TulGU. Technical science, iss. 4. Tula, TulSU Publ., 2016, pp. 149—159 (in Russian).Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. Wilev Interscience, A Division Of John Wiley Sons, Inc. New York-London-Sydney-Toronto, 1972.Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. Wilev Interscience, A Division of John Wiley Sons, Inc. New York-London-Sydney-Toronto 1972.Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator // Int. J. Contr. 1998. V. 47. № 4. P. 947—951.Kawasaki N., Kobayashi H., Shimemura E. Relation between pole assignment and LQ-regulator, Int. J. Contr., 1998, vol. 47, no. 4, pp. 947—951.Miroslav D. Lutovac. Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica. New Jersey, USA: Prentice Hall, 2001.Miroslav D. Lutovac. Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica, New Jersey, USA, Prentice Hall, 2001.Садовой А. В., Сухинин Б. В., Сохина Ю. В. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами. Киев: ИСИМО, 1996. 298 с.Sadovoy A. V., Sukhinin B. V., Sokhina Yu. V. Optimal control systems for precision electric drives, Kiev, ISIMO Publ., 1996, 298 p (in Ukraine).Ловчаков В. И., Шибякин О. А. Решение задачи быстродействия по выходной координате для линейных динамических систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, № 9. С. 532—541.Lovchakov V. I., SHibyakin O. A. The solution of a problem of speed of response on output coordinate for linear dynamic systems, Mekhatronika, Avtomatizatsiia, Upravlenie, 2019, no. 9, pp. 532—541 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.