novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.21.136-142novtexmech-765Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGО детектируемости по части переменных нелинейных дискретных системOn Problem of Partial Detectability for Nonlinear Discrete-Time SystemsВоротниковВ. И.VorotnikovV. I.

д-р физ.-мат. наук, проф.

г. Сочи

Doctor Sci. (Phys.&Math.), Professor

Sochi, 354340

vorotnikov-vi@rambler.ruМартышенкоЮ. Г.MartyshenkoYu. G.

канд. физ.-мат. наук, доц.

Москва

Moscow, 119991

j-mart@mail.ruСочинский институт Российского университета дружбы народовРоссияSochi institute of the RUDNRussian FederationРоссийский государственный университет нефти и газаРоссияRussian state university of oil and gasRussian Federation202005032020213136142Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20202020Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/765

Дискретные (конечно-разностные) системы широко используются в современной нелинейной теории управления. Одной из основных задач качественного исследования таких систем является обладающая большой общностью задача устойчивости нулевого положения равновесия. В большинстве работ такая задача устойчивости анализируется по отношению ко всем переменным, определяющим состояние системы.

Однако для многих важных в приложениях случаев возникает необходимость анализа более общей задачи: об устойчивости нулевого положения равновесия не по всем переменным, а только по некоторой заданной части переменных. Такая задача часто рассматривается также как вспомогательная при исследовании устойчивости по всем переменным. На этом пути возникают соответствующие понятия и задачи детектируемости изучаемой системы, играющие важную роль в процессе анализа нелинейных управляемых систем. Затем были поставлены более общие задачи частичной детектируемости, в рамках которых изучается ситуация, когда из устойчивости по части переменных следует устойчивость не по всем, а по большей части переменных.

В данной статье рассматривается нелинейная дискретная (конечно-разностная) система общего вида, допускающая нулевое положение равновесия. Находятся условия на структурную форму рассматриваемой системы, определяющие ее частичную детектируемость. При выполнении этих условий устойчивость по заданной части переменных нулевого положения равновесия системы означает его фактическую устойчивость по другой — бóльшей части переменных. При этом устойчивость по оставшимся переменным является неопределенной и может исследоваться дополнительно. В процессе анализа указанной проблемы частичной детектируемости вводится понятие частичной нуль-динамики системы. Дается приложение полученных результатов к задаче стабилизации к части переменных нелинейных дискретных управляемых систем.

Discrete (finite-difference) systems are widely used in modern nonlinear control theory. One of the main problems of a qualitative study of such systems is the problem of stability of the zero equilibrium position, which has great generality. In most works, such a stability problem is analyzed with respect to all variables that determine the state of the system. However, for many cases important in applications, it becomes necessary to analyze a more general problem of partial stability: the stability of the zero equilibrium position not for all, but only with respect to some given part of the variables. Such a problem is often also considered as auxiliary problem in the study of stability with respect to all variables. In this way, the corresponding concepts and problems of detectability of the studied system arise, which play an important role in the process of analysis of nonlinear controlled systems. Then, more general problems of partial detectability were posed, within the framework of which the situation was studied when stability from a part of variables implies stability not with respect to all, but with respect to more part of the variables. This article studies a nonlinear discrete (finite-difference) system of a general form that admits a zero equilibrium position. Easily interpreted conditions are found on the structural form of the system under consideration that determine its partial detectability, for which stability over a given part of the variables of the zero equilibrium position means its stability with respect to the other, more part of the variables. In this case, the stability with respect to the remaining part of the variables is uncertain and can be investigated additionally. In the process of analyzing this problem of partial detectability, the concept of partial null-dynamics of the system under study is introduced. An application of the obtained results to the stabilization problem with respect to part of the variables of nonlinear discrete controlled systems is given.

нелинейная дискретная (конечно-разностная) системаустойчивость по части переменныхдетектируемость по части переменныхчастичная стабилизацияnonlinear discrete-time (difference) systemspartial stabilitypartial detec-tabilitypartial stabilizationReferencesHalanay A., Wexler D. Qualitative Theory of Impulsive Systems. Bucharest: Ed. Acad. RPR, 1968. 312 p.Halanay A., Wexler D. Qualitative Theory of Impulsive Systems. Bucharest, Ed. Acad. RPR, 1968, 312 p.Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 c.Furasov V. D. Stability and Stabilization of Discrete Processes, Moscow, Nauka, 1982, 192 p. (in Russian).Аgarwal R. P. Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Appli-cations, 2 ed., N. Y.: Marcel Dekker, 2000. 971 p.Аgarwal R. P. Difference Equations and Inequalities: Theory, Methods and Applications, 2 ed., N. Y., Marcel Dekker, 2000, 971 p.Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: изд-во СПбГУ, 2007. 136 c.Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. (Stability of Motion of Discrete Dynamical Systems, Saint-Petersburg, Saint-Petersburg Univ. Press, 2007, 136 p. (in Russian).Haddad W. M., Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton: Princeton University Press, 2008. 976 p.Haddad W. M., Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach, Princeton, Princeton University Press, 2008, 976 p.Зуев А. Л., Игнатьев А. О., Ковалев А. М. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. Киев: Наукова Думка, 2013. 430 c.Zuyev A. L., Ignatyev A. O., Kovalev A. M. Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, Kiev, Naukova dumka, 2013, 430 p. (in Russian).Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 448 с.Boltyanskii V. G. Optimal Control of Discrete Processes, Moscow, Nauka, 1973, 448 p. (in Russian).Джури Э. И. Робастность дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1990. № 5. С. 3—28.Juri E. I. Robustness of discrete systems, Automation and Remote Control, 1990, vol. 51, no. 5, pp. 571—592.Pachpatte B. G. Partial stability of solutions of difference equations // Proc. Nat. Acad. Sci., India, 1973. Vol. A43. P. 235—238.Pachpatte B. G. Partial stability of solutions of difference equations, Proc. Nat. Acad. Sci., India, 1973, vol. A43, pp. 235—238.Michel A. N., Molchanov A. P., Sun Y. Partial Stability and Boundedness of General Dynamical Systems on Metric Spaces // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2003. Vol. 52, N. 4. P. 1295—1316.Michel A. N., Molchanov A. P., Sun Y. Partial Stability and Boundedness of General Dynamical Systems on Metric Spaces, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2003, vol. 52, no. 4, pp. 1295—1316.Абрамов С. А., Бронштейн М. Б. Решение дифференциальных и разностных систем по отношению к части неизвестных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 2. С. 229—241.Abramov S. A., Bronstein M. Solving Linear Systems of Differential and Difference Equations with Respect to a Part of the Unknowns, Comp. Math. Math. Phys., 2006, vol. 46, no. 2, pp. 218—230.Costa E. F., Astolfi A. Partial Stability for a Class of Nonlinear Systems // SIAM J. Control Optim. 2009. Vol. 47, N. 6. P. 3203—3219.Costa E. F., Astolfi A. Partial Stability for a Class of Nonlinear Systems, SIAM J. Control Optim., 2009, vol. 47, no. 6, pp. 3203—3219.Ramírez-Llanos E., Martínez S. Distributed and Robust Fair Optimization Applied to Virus Diffusion Control // IEEE Trans. Network Sci. Engineering. 2017. V. 4, N. 1. P. 41—54.Ramírez-Llanos, E., Martínez S. Distributed and Robust Fair Optimization Applied to Virus Diffusion Control, IEEE Trans. Network Sci. Engineering, 2017, vol. 4, no. 1, pp. 41—54.Ramírez-Llanos E., Martínez S. Distributed DiscreteTime Optimization Algorithms with Applications to Resource Allocation in Epidemics Control // Optimal Control Appl. Meth. 2018. V. 39, N. 1. P. 160—180.Ramírez-Llanos E., Martínez S. Distributed DiscreteTime Optimization Algorithms with Applications to Resource Allocation in Epidemics Control, Optimal Control Appl. Meth., 2018, vol. 39, no. 1, pp. 160—180.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной устойчивости нелинейных дискретных систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 2017. Т. 18, № 6. С. 371—375.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. K zadache chastichnoy ustoychivosti ne-lineynykh diskretnykh sistem (To Problem of Partial Stability of Nonlinear Discrete-Time Systems), Mekhatro nika, Avtomatizatsija, Upravlenie, 2017. vol. 18, no. 6, pp. 371—375 (in Russian).Byrnes C. I., Isidori A., Willems J. C. Passivity, Feedback Equivalence, and the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1991. Vol. 36, N. 11. P. 1228—1240.Byrnes C. I., Isidori A., Willems J. C. Passivity, Feedback Equivalence, and the Global Stabilization of Minimum Phase Nonlinear Systems, IEEE Trans. Autom. Control, 1991, vol. 36, no. 11, pp. 1228—1240.Isidori A. The Zero Dynamics of a Nonlinear System: From the Origin to the Latest Progresses of a Long Successful Story // European J. Control. 2013. Vol. 19, N. 5. P. 369—378.Isidori A. The Zero Dynamics of a Nonlinear System: From the Origin to the Latest Progresses of a Long Successful Story, European J. Control, 2013, vol. 19, no. 5, pp. 369—378.Ingalls B. P., Sontag E. D., Wang Y. Measurement to Error Stability: a Notion of Partial Detectability for Nonlinear Systems // Proc. 41th IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas, Nevada. 2002. P. 3946—3951.Ingalls B. P., Sontag E. D., Wang Y. Measurement to Error Stability: a Notion of Partial Detectability for Nonlinear Systems, Proc. 41th IEEE Conf. on Decision and Control, Las Vegas, Nevada. 2002, pp. 3946—3951.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче частичной детектируемости нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2009. № 1. С. 25—38.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. On Partial Detectability of the Nonlinear Dynamic Systems, Automation and Remote Control, 2009, vol. 70, no. 1, pp. 20—32.Halanay A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags. N. Y.: Acad. Press, 1966. 528 p.Halanay A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags, New York, Acad. Press, 1966, 528 p.Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.Rumyantsev V. V., Oziraner A. S. Stability and Stabilization of Motion with Respect to a Part of the Variables, Moscow, Nauka, 1987, 256 p. (in Russian).Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448 p.Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control, Boston, Birkhauser, 1998, 448 p.Воротников В. И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3—59.Vorotnikov V. I. Partial Stability and Control: the State of the Art and Developing Prospects, Automation and Remote Control, 2005, vol. 66, no. 4, pp. 511—561.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. Т. 51, Вып. 5. С. 23—31.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. On the partial stability of nonlinear dynamical systems, J. Comput. Syst. Sci. Int., 2010, vol. 49, no. 5, pp. 702—709.Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 549 с.Fradkov A. L., Miroshnik I. V., Nikiforov V. O. Nonlinear and Adaptive Control of Complex Systems, Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1999, 528 p. (in Russian).Jammazi C. Backstepping and Partial Asymptotic Stabilization // Intern. J. Control, Autom., Syst. 2008. Vol. 6, N. 6. P. 859—872.Jammazi C. Backstepping and Partial Asymptotic Stabilization, Intern. J. Control, Autom., Syst., 2008, vol. 6, no. 6, pp. 859—872.Efimov D. V., Fradkov A. L. Input-to-Output Stabilization of Nonlinear Systems via Backstepping // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2009. Vol. 19, N. 6. P. 613—633.Efimov D. V., Fradkov A. L. Input-to-Output Stabilization of Nonlinear Systems via Backstepping, Int. J. Robust Nonlinear Control, 2009, vol. 19, no. 6, pp. 613—633.Binazadeh T., Yazdanpanah M. J. Partial Stabilization of Uncertain Nonlinear Systems // ISA Trans. 2012. Vol. 51, N. 2. P. 298—303.Binazadeh T., Yazdanpanah M. J. Partial Stabilization of Uncertain Nonlinear Systems, ISA Trans., 2012, vol. 51, no. 2, pp. 298—303.L’Afflitto A., Haddad W. M., Bakolas E. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback Control // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2016. Vol. 26, N. 5. P. 1026—1050.L’Afflitto A., Haddad W. M., Bakolas E. Partial-State Stabilization and Optimal Feedback Control, Int. J. Robust Nonlinear Control, 2016, vol. 26, no. 5, pp. 1026—1050.Zuyev A. L. Partial Stabilization and Control of Distributed Parameter Systems with Elastic Elements. Cham: Springer Int. Publ., 2015. 245 p.Zuyev A. L. Partial Stabilization and Control of Distributed Parameter Systems with Elastic Elements, Cham, Springer Int. Publ., 2015, 245 p.Воротников В. И. Об управлении угловым движением твердого тела. Игровой подход // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, Вып. 3. С. 82—103.Vorotnikov V. I. The Control of the Angular Motion of a Solid with Interference. A Game-Theoretic Approach, J. Appl. Math. Mech., 1994, vol. 58, no. 3, pp. 457—476.Воротников В. И. О синтезе ограниченных управлений в игровой задаче переориентации асимметричного твердого тела // Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 5. С. 630—634.Vorotnikov V. I. On Bounded Control Synthesis in a Game Theory Problem of Reorientation of an Asymmetric Solid, Physics-Doklady, 1995, vol. 40, no. 8, pp. 421—425 (in Russian).Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К нелинейной задаче одноосной переориентации трехроторного гиростата при игровой модели помех // Автоматика и телемеханика. 2012. № 9. С. 35—48.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. On the Nonlinear Uniaxial Reorientation Problem for a Three-Rotor Gyrostat in the Game Noise Model, Automation and Remote Control, 2012, vol. 73, no. 9, pp. 1469—1480.Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К нелинейной задаче трехосной переориентации трехроторного гиростата при игровой модели помех // Космические исследования. 2013. Т. 51, Вып. 5. С. 412—418.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. On the Nonlinear Problem of Three-Axis Reorientation of a Three-Rotor Gyrostat in the Game Noise Model, Cosmic Research, 2013, vol. 51, no. 5, pp. 372—378 (in Russian).Воротников В. И., Мартышенко Ю. Г. К задаче переориентации трехроторного гиростата при неконтролируемых внешних помехах // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17, № 6. С. 414—419.Vorotnikov V. I., Martyshenko Yu. G. To Problem of Three-Rotor Gyrostat Reorientation under Uncontrolled External Disturbances, Mekhatronika, Avtomatizatsija, Upravlenie, 2016, vol. 17, no. 6, pp. 414—419 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.