Канд. техн. наук, доц.
Канд. техн. наук, науч. сотр.
Аспирант, мл. науч. сотр.
Рассматривается линейная система управления, представленная характеристическим полиномом с интервальными коэффициентами, в которые линейно входят параметры робастного регулятора. Решается задача их определения в целях сохранения в системе гарантируемой динамики в условиях интервальной неопределенности параметров объекта. При параметрическом синтезе регулятора предлагается использовать корневые показатели качества — минимальную степень устойчивости и максимальную степень колебательности. Для их обеспечения параметрический синтез регулятора проводится на основе метода доминирующих полюсов. Применение данного метода предусматривает задание пары комплексно-сопряженных доминирующих полюсов, определяющих желаемые значения степени робастной устойчивости и робастной колебательности системы, а также правой границы области локализации всех остальных (свободных) полюсов. Для применения метода доминирующих полюсов используется свойство степени устойчивости и степени колебательности линейной интервальной системы определяться теми ее полюсами, которые являются образами определенных вершин многогранника коэффициентов интервального характеристического полинома. Параметры регулятора предлагается разделить на зависимые и свободные. Первые должны обеспечить заданное расположение доминирующих полюсов в одной из вершин многогранника коэффициентов (в доминирующей вершине). Свободные параметры регулятора призваны обеспечить требуемое удаление свободных полюсов от доминирующих. Для определения координат доминирующей вершины и проверочных вершин для локализации свободных полюсов проведено интервальное расширение основного фазового уравнения теории корневого годографа. В результате получены двойные интервальные фазовые неравенства, решение которых позволяет определить координаты искомых вершин многогранника коэффициентов характеристического полинома. Знание доминирующего вершинного полинома и заданных доминирующих полюсов позволяет выразить зависимые параметры регулятора через свободные. Полученные выражения используются для локализации свободных полюсов интервальной системы в заданной области. Для этого в каждой из найденных проверочных вершин проводится D-разбиение по свободным параметрам регулятора. После выбора значений свободных параметров из общей для всех D-разбиений области рассчитываются зависимые параметры регулятора. Приводится числовой пример параметрического синтеза ПИД регулятора, гарантирующего корневые робастные показатели качества интервальной системы четвертого порядка.
In the paper a linear control system described by its characteristic polynomial with interval coefficients including parameters of controller linearly is considered. Problem of the research is finding parameters of a controller guaranteeing dynamic characteristics of a system despite interval parametric uncertainty of its object. It is proposed to base a controller synthesis on root quality indices: minimal stability degree and maximal oscillability degree. Desired values of these indices will be provided with the help of dominant poles method. Applying this method consists in placing a pair of complex-conjugate dominant poles; all other poles — unrestricted poles — will be placed by defining a right border of their allocation area on a complex plane. To apply dominant poles method, a feature of stability degree and oscillability degree to be determined by images of certain vertices of a parametric polytope was used. To synthesize a controller, it is proposed to divide its parameters in two groups: dependent ones and unrestricted ones. The first group of controller parameters is to provide desired allocation of dominant poles in one of vertices of parametric polytope (a dominant vertex). Unrestricted parameters of a controller are to provide desired distance between dominant poles and allocation area of unrestricted poles. To find coordinates of a dominant vertex and verifying vertices providing unrestricted poles allocation, an interval extension of basic phase equation of a root locus theory was developed. This resulted in interval phase inequalities, whose solution allows finding coordinates of desired vertices of characteristic polynomials coeffi cients polytope. Knowing a dominant vertex polynomial and dominant poles allows expressing dependent parameters of a controller from unrestricted ones. Obtained expressions allow placing unrestricted poles in a desired area of a complex plane. To do this, a D-partition by unrestricted parameters of a controller is performed in all verifying vertices of parametric polytope of a system. After choosing values of unrestricted parameters from intersection of all stability domains obtain during D-partition, dependent parameters of a controller can be calculated. An example of synthesizing a PID-controller guaranteeing desired values of dynamics characteristics for an interval control system of the fourth order is provided.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.