novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.21.3-13novtexmech-742Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGПрименение структур для оценки характеристических показателей Ляпунова систем с периодическими коэффициентамиFrameworks Application for Estimation of Lyapunov Exponents for Systems with Periodic Coeffi cientsКарабутовН. Н.KarabutovN. N.

Д-р техн. наук, проф.

Москва

kn22@yandex.ruМИРЭА — Российский технологический университетРоссияMIREA — Russian Technological UniversityRussian Federation202014012020211313Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20202020Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/742

Рассмотрена задача идентификации характеристических показателей Ляпунова динамических систем с периодическими коэффициентами в условиях неопределенности. Идентификация характеристических показателей Ляпунова выполнена на основе анализа специального класса структур, описывающих динамику их изменения. Описан метод получения структур. Введено понятие адекватности полученных оценок характеристических показателей Ляпунова. Критерий адекватности основан на анализе области определения структур. Получено решение задачи определения области, которой принадлежит множество оценок характеристических показателей Ляпунова. Пред- ложен метод оценки порядка системы. Он основан на анализе свойств почти периодических функций по Бору и предложенных структур. Рассмотрен случай, когда линеалы, соответствующие характеристическим показателям Ляпунова, могут пересекаться. Это приводит к бесконечному спектру характеристических показателей Ляпунова. Определена верхняя оценка для наименьшего показателя и граница подвижности для старшего показателя, и получено множество показателей системы. Предложен графический критерий, основанный на анализе свойств специального класса структур, для оценки адекватности оценок характеристических показателей Ляпунова. Для проверки множества полученных оценок применен метод гистограмм. Дано расширение почти периодических функций по Бору для решения рассматриваемой задачи. Получена оценка порядка системы на основе анализа структуры.

The identification problem of Lyapunov exponents is considered for dynamic systems with periodic coefficients under uncertainty. Indexes identification is based on the analysis of a special class of frameworks describing dynamics of indexes change. The method of frameworks obtaining is described. The adequacy concept of obtained estimations Lyapunov exponents is introduced. The adequacy criterion is based on the analysis of the structure definition domain. The domain which belongs to the set of Lyapunov exponents estimates is determined. The method proposed for the order estimation of the system. The method is based on the properties analysis of almost periodic to Bohr functions and proposed frameworks. The case when lineals for Lyapunov exponents are crossed is considered. WE obtain to an infinite spectrum of Lyapunov exponents. Upper bound for the smallest index and mobility limit for the large index are obtained and the index set of the system is determined. The graphics criteria based on the analysis of framework properties are proposed for the adequacy estimation of obtained indexes. The histogram method is applied to check of estimations set. It is shown that a dynamic system with periodic coefficients can have a set of Lyapunov exponents. The extension of almost periodic functions on Bohr is proposed to the problem solve of Lyapunov exponents evaluation. The system order estimation is obtained on the basis of the framework property analysis.

структурадинамическая система с периодическими коэффициентамихарактеристический показатель Ляпуновапочти периодические функции по Боруframeworknonlinear dynamic systemphase portraitstructural identificationnonlinearitysynchronizabilityalmost periodic function on Bohr For citationReferencesThamilmaran K., Senthilkumar D. V., Venkatesan A., Lakshmanan M. Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit // Physical Review E. 2006. Vol. 74, N. 9. P. 036205.Thamilmaran K., Senthilkumar D. V., Venkatesan A., Lakshmanan M. Experimental realization of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced electronic circuit, Physical Review E., 2006, vol. 74, no. 9, pp. 036205.Porcher R., Thomas G. Estimating Lyapunov exponents in biomedical time series // Physical Review E. 2001. Vol. 64, N. 1. P. 010902(R).Porcher R., Thomas G. Estimating Lyapunov exponents in biomedical time series. Physical Review E., 2001, vol. 64, no. 1, pp. 010902(R).Hołyst J. A., Urbanowicz K. Chaos control in economical model by time-delayed feedback method // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2000. Vol. 287, N. 3—4. P. 587—598.Hołyst J. A., Urbanowicz K. Chaos control in economical model by time-delayed feedback method. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2000, vol. 287, no. 3—4, pp. 587—598.Macek W. M., Redaelli S. Estimation of the entropy of the solar wind flow. Physical Review E. 2000. Vol. 62, N. 5. P. 6496—6504.Macek W. M., Redaelli S. Estimation of the entropy of the solar wind flow, Physical Review E., 2000, vol. 62, no. 5, pp. 6496—6504.Skokos Ch. The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation // Lect. Notes Phys. 2010. Vol. 790. P. 63—135.Skokos Ch. The Lyapunov Characteristic Exponents and Their Computation, Lect. Notes Phys., 2010, vol. 790, pp. 63—135.Gencay R., Dechert W. D. An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system // Physica D. 1992. Vol. 59. P. 142—157.Gencay R., Dechert W. D. An algorithm for the n Lyapunov exponents of an n-dimensional unknown dynamical system, Physica D., 1992, vol. 59, pp. 142—157.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics /Eds D. A. Rand, L.-S. Young. Berlin: Springer-Verlag, 1980. Vol. 898. P. 366—381.Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics, Eds D. A. Rand, L.-S. Young. Berlin, Springer-Verlag, 1980, vol. 898, pp. 366—381.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica 16D. 1985. N. 16. P. 285—301.Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series, Physica 16D, 1985, no. 16, pp. 285—301.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets Source // Physica D. 1993. Vol. 65, Iss. 1-2. P. 117—134.Rosenstein M. T., Collins J. J., De Luca C. J. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets Source, Physica D., 1993, vol. 65, iss. 1—2, pp. 117—134.Беспалов А. В., Поляхов Н. Д. Сравнительный анализ методов оценки первого показателя Ляпунова // Современные проблемы науки и образования. 2016. № 6. 8 с.Bespalov A. V., Polyakhov N. D. Comparative analysis of methods for estimating the first Lyapunov exponent, Modern problems of science and education, 2016, no. 6, 8 p. (in Russian).Передерий Ю. А. Метод оценки спектра ляпуновских показателей по временной реализации // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 1. С. 99—104.Perederiy Y. A. Method for calculation of lyapunov exponents spectrum from data series, Izvestiya VUZ. Applied nonlinear dynamics, 2012, iss. 20, no. 1, pp. 99—104 (in Russian).Moskalenko O., Koronovskii A. A., Hramov A. E. Lyapunov exponent corresponding to enslaved phase dynamics: Estimation from time series // Physical review E 92. 2015. Р. 012913.Moskalenko O., Koronovskii A. A., Hramov A. E. Lyapunov exponent corresponding to enslaved phase dynamics: Estimation from time series, Physical review E 92, 2015, pp. 012913.Cvitanovi´c P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G. Chaos: Classical and Quantum. ChaosBook.org version16.0. 2017.Cvitanovi´c P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G. Chaos: Classical and Quantum. ChaosBook.org version 16.0. 2017.Филатов В. В. Структурные характеристики аномалий геофизических полей и их использование при прогнозе // Геофизика, геофизическое приборостроение. 2013. № 4(16). С. 34—41.Filatov V. V. Structural characteristics of geophysical fields anomalies and their use in forecasting, Geophysics, 2013, no. 4(16), pp. 34—41.Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. M., Nemytsky V. V. Theory of Lyapunov indexes and its application to stability problems, Moscow, Nauka, 1966 (in Russian).Москаленко О. И., Павлов А. С. Способ оценки нулевого условного показателя Ляпунова по временному ряду // Письма в ЖТФ. 2014. Т. 40. Вып. 12. С. 66—72.Moskalenko O., Pavlov A. S. A method of evaluating zero conditional Lyapunov exponent time serie, Pis’ma v Zhurnal Tekhnicheskoi Fiziki, 2014, vol. 40, no. 12, pp. 66—72.Karabutov N. Structural methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system // International journal of intelligent systems and applications. 2015. Vol. 7, N. 10. P. 1—11.Karabutov N. Structural methods of estimation Lyapunov exponents linear dynamic system, International journal of intelligent systems and applications, 2015, vol. 7, no. 10, pp. 1—11.Карабутов Н. Н. Структуры в задачах идентификации: Построение и анализ. М.: URSS/Ленанд. 2018. 312 с.Karabutov N. Frameworks in identification problems: Design and analysis, Moscow, URSS/Lenand, 2018, 306 p. (in Russian).Karabutov N. About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty // Global journal of science frontier research: (A) Physics and Space Science. 2018. Vol. 18, Iss. 11. P. 51—61.Karabutov N. About structural identifiability of nonlinear dynamic systems under uncertainty, Global journal of science frontier research: (A) Physics and Space Science, 2018, vol. 18, iss. 11, pp. 51—61.Карабутов Н. Н. Структурная идентификация статических объектов: Поля, структуры, методы. М.: URSS. 2011. 152 с.Karabutov N. N. Structural identification of static objects: Fields, frameworks, methods, Moscow, URSS/Lenand, 2011, 152 p. (in Russian).Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.Demidovich B. P. Lektion on mathematical stability theory, Moscow, Nauka, 1967.Karabutov N. About Lyapunov exponents identification for systems with periodic coefficients // International journal of intelligent systems and applications. 2018. Vol. 10, N. 11. P. 1—10.Karabutov N. About Lyapunov exponents identification for systems with periodic coefficients, International journal of intelligent systems and applications, 2018, vol. 10, no. 11, pp. 1—10.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.