канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр.
PhD, Leading Researcher
Работа представляет собой расширенную и переработанную версию доклада, сделанного на конференции имени Е. С. Пятницкого в 2016 г.
Рассматриваются некоторые аспекты развития теории линейных матричных неравенств. Освещается ряд результатов, полученных на начальном этапе развития этой теории как при разработке численных методов, так и при получении аналитических условий их разрешимости. Основное внимание сосредоточено на системе линейных матричных неравенств, возникающей при решении задачи абсолютной устойчивости. Е. С. Пятницким и его учениками показано, что разрешимость этой системы является критерием существования квадратичной функции Ляпунова и достаточным условием абсолютной устойчивости. Рассматриваются предпосылки, приведшие к данному результату. Показывается использование рассматриваемой системы неравенств для исследования устойчивости гибридных систем, описываемых дифференциальными включениями и системами с переключениями. Приводится анализ цитирования некоторых работ школы Пятницкого по теории устойчивости и теории систем линейных матричных неравенств, из которого следует востребованность результатов этих работ в настоящее время.
При разработке численных методов Е. С. Пятницким впервые показано, что вопрос о разрешимости системы линейных матричных неравенств сводится к задаче выпуклого программирования. Приводится интересный градиентный алгоритм поиска решений такой системы.
При анализе аналитических условий разрешимости отмечается полученный автором совместно с Е. С. Пятницким критерий неразрешимости интересующей системы. В современных терминах этот результат можно рассматривать как описание допустимого множества в двойственной задаче полуопределенного программирования. Похожий результат приводится в известной книге С. Бойда с соавторами. В работе показывается, что результат Бойда и др. является простым следствием критерия неразрешимости. Здесь критерий неразрешимости обобщается и уточняется.
Some aspects of the development of the theory of linear matrix inequalities are considered. A number of results obtained at the initial stage of the development of this theory, both in the development of numerical methods and in obtaining analytical conditions for their solvability, are highlighted. The main attention is focused on the system of linear matrix inequalities arising in solving the absolute stabi lity problem. E. S. Pyatnitskiy and his followers showed that the solvability of this system is a criterion for the existence of a quadratic Lyapunov function and a sufficient condition for absolute stability. The prerequisites leading to this result are considered here. The use of the considered system of inequalities for studying the stability of hybrid systems described by differential inclusions and switching systems is shown. An analysis is given of citing some works of Pyatnitskiy’s school on the theory of stability and the theory of systems of linear matrix inequalities, from which the relevance of the results of these works at the present time follows.
In developing numerical methods, it was first shown in the work of Pyatnitskiy and Skorodinskiy that the solvability problem for a system of linear matrix inequalities reduces to a convex programming problem. An interesting gradient algorithm for finding solutions to such a system is also presented. In analyzing analytical conditions of solvability, an unsolvability criterion for the system of our interest obtained by Kamenetskiy and Pyatnitskiy is noted. In modern terms, this result can be considered as a description of an admissible set in the dual semidefinite programming problem. A similar result is given in the famous book by S. Boyd et al. The paper shows that the result of Boyd et al. is a simple corollary of the unsolvability criterion. Here the unsolvability criterion is generalized and refined.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.