novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.20.589-599novtexmech-703Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGОптимальная стабилизация квазилинейной стохастической системы с управляемыми параметрамиOptimal Stabilization Problem for the Quasilinear System with Controllable ParametersОнегинЕ. Е.OneginE. E.

мл. науч. сотр.

Junior Researcher

evgeny.onegin@phystech.eduИнститут проблем управления им. В. А. Трапезникова РАНРоссияInstitute of Control Sciences of Russian Academy of SciencesRussian Federation2019101020192010589599Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20192019Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/703

Работа посвящена задаче оптимальной стабилизации квазилинейной стохастической системы с управляемыми параметрами. Системы такого вида описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями с мультипликативными возмущениями, матрицы которых, в общем случае нелинейно, зависят от управления. Критерий качества представляет собой модификацию классического квадратичного критерия качества управления. Задача состоит в минимизации критерия на множестве допустимых процессов управления. Данная постановка задачи интересна тем, что она позволяет изучать широкий спектр вопросов оптимизации линейных систем с мультипликативными возмущениями, в том числе: оптимизацию конструктивных параметров системы, задачи оптимальной стабилизации при наличии ограничений на коэффициенты линейного регулятора в виде неравенств, задачи оптимальной стабилизации линейных стохастических систем при наличии информационных ограничений. Основным результатом работы являются необходимые условия оптимальности вектора параметров в задаче оптимальной стабилизации квазилинейной стохастической системы с управляемыми параметрами. Предложена процедура градиентного типа синтеза оптимального стабилизирующего вектора параметров. Кроме того, на основе полученных условий оптимальности построен алгоритм синтеза субоптимального программного управления в рассматриваемой задаче. Результатом работы предложенного алгоритма является кусочно-постоянное управление, которое дает значение критерия гарантированно не хуже, чем оптимальный стабилизирующий вектор. Полученный алгоритм отличается простотой и позволяет проводить расчет в реальном времени. Полученные результаты применены к задаче оптимальной стабилизации с информационными ограничениями, в которой также получены необходимые условия оптимальности и предложена процедура синтеза управления градиентного типа. Использование полученных результатов продемонстрировано на модельном примере.

The main concern of this paper is the problem of optimal stabilization of a quasilinear stochastic system with controllable parameters. Systems of this type are described by linear stochastic differential equations with multiplicative noises whose matrices, in general case, are nonlinear functions of control. The performance criterion is a modification of the classic quadratic performance cost. The goal is to minimize the criterion on the set of admissible control processes. This formulation of the problem is interesting because it allows us to study a wide range of optimization problems of linear systems with multiplicative perturbations, including: optimization of design parameters of the system, the problem of optimal stabilization under constraints on the gain matrix of the linear regulator in the form of inequalities, the problem of optimal stabilization of linear stochastic systems under information constraints. The main result of this paper is the necessary conditions for the optimal vector in the problem of stabilization of a quasilinear stochastic system with controllable parameters.The numerical gradient-type procedure for synthesis of the optimal stabilizing vector is also proposed. In addition, using obtained results we construct the algorithm for synthesis of a suboptimal time-dependent control. The result of the proposed algorithm is piecewise constant control, which gives the value of the criterion is guaranteed not worse than for the optimal stabilizing vector. This algorithm is relatively simple and one may use it for calculations in real time. The obtained results are applied to the problem of optimal stabilization under information constraints, in which the necessary optimality conditions are also obtained and the gradient-type procedure for the synthesis of the optimal control is proposed. The use of the obtained results is demonstrated by a model example.

непрерывные стохастические системысистемы с управляемыми параметрамиквадратичный критерийоптимальная стабилизациялинейные системы с мультипликативными возмущениямиинформационные ограниченияcontinuous stochastic systemssystems with controllable parametersquadratic criterionoptimal stabilizationlinear systems with multiplicative noiseinformation constraintsReferencesWonham W. M. Optimal Stationary Control of a Linear System with State-dependent Noise // SIAM Journal on Control. 1967. Vol. 5, Iss. 3. P. 486—500.Wonham W. M. Optimal Stationary Control of a Linear System with State-dependent Noise, SIAM Journal on Control, 1967, vol. 5, iss. 3, pp. 486—500.Damm T. Rational Matrix Equations in Stochastic Control. Springer, Berlin Heidelberg, 2004.Damm T. Rational Matrix Equations in Stochastic Control. Springer, Berlin Heidelberg, 2004.McLane P. J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State- and Control-dependent Disturbances // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. 16, Iss. 6. P. 793—798.McLane P. J. Optimal Stochastic Control of Linear Systems with State- and Control-dependent Disturbances, IEEE Transactions on Automatic Control, 1971, vol. 16, iss. 6, pp. 793—798.Haussmann U. G. Optimal Stationary Control with State Control Dependent Noise // SIAM Journal on Control. 1971. Vol. 9, Iss. 2. P. 184—198.Haussmann U. G. Optimal Stationary Control with State Control Dependent Noise, SIAM Journal on Control, 1971, vol. 9, iss. 2, pp. 184—198.Хрусталев М. М. Синтез оптимальных и устойчивых управляемых стохастических систем при неполной информации о состоянии на неограниченном интервале времени // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. C. 174—190.Khrustalyov M. M. Avtomatika i Telemekhanika, 2011, no. 11, pp. 174—190 (in Russian).Халина А. С., Хрусталев М. М. Оптимизация облика и стабилизация управляемых квазилинейных стохастических систем, функционирующих на неограниченном интервале времени // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2017. № 1. C. 65—88.Khalina A. S., Khrustalyov M. M. Optimizaciya oblika i stabilizaciya upravlyaemyh kvazilinejnyh stohasticheskih sistem, funkcioniruyushchih na neogranichennom intervale vremeni, Izvestiya Rossijskoj akademii nauk. Teoriya i sistemy upravleniya, 2017, no. 1, pp. 65—88 (in Russian).Мильштейн Г. Н. Линейные оптимальные регуляторы заданной структуры в системах с неполной информацией // Автоматика и телемеханика. 1976. № 8. C. 48—53.Mil’shtejn G. N. Avtomatika i Telemekhanika, 1976, no. 8, pp. 48—53 (in Russian).McLane P. J. Linear Optimal Stochastic Control Using Instantaneous Output Feedback // International Journal of Control. 1971. Vol. 13, Iss. 2. P. 383—396.McLane P. J. Linear Optimal Stochastic Control Using Instantaneous Output Feedback, International Journal of Control, 1971, vol. 13, iss. 2, pp. 383—396.Трушкова Е. А. Алгоритмы глобального поиска оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2011. № 6. C. 151—159.Trushkova E. A. Avtomatika i Telemekhanika, 2011, no. 6, pp. 151—159 (in Russian).Tsar’kov K. A., Khrustalev M. M., Rumyantsev D. S. Optimization of Quasilinear Stochastic Control-nonlinear Diffusion Systems // Automation and Remote Control. 2017. Vol. 78, Iss. 6. P. 1028—1045.Tsar’kov K. A., Khrustalev M. M., Rumyantsev D. S. Optimization of Quasilinear Stochastic Control-nonlinear Diffusion Systems, Automation and Remote Control, 2017, vol. 78, iss. 6, pp. 1028—1045.Onegin E., Khrustalev M. The Optimal Disturbance Suppression Problem on the Infinite Time Interval for Quasilinear Stochastic Systems with Output Feedback // In Proc. 13th Int. Conf. Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conf.). 2016. URL: https://ieeexplore.ieee.org/ abstract/document/7541193.Onegin E., Khrustalev M. The Optimal Disturbance Suppression Problem on the Infinite Time Interval for Quasilinear Stochastic Systems with Output Feedback, In Proc. 13th Int. Conf. Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy’s Conf.), 2016, available at: https://ieeexplore.ieee.org/abstract/ document/7541193.Onegin E., Khrustalev M. Optimal Stabilisation of a Quasilinear Stochastic System with Controllable Parameters // In Proc. 14th Int. Conf. "Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems" (Pyatnitskiy’s Conf.). 2018. URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/8408384.Onegin E., Khrustalev M. Optimal Stabilisation of a Quasilinear Stochastic System with Controllable Parameters, In Proc. 14th Int. Conf. "Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems" (Pyatnitskiy’s Conf.), 2018, available at: https://ieeexplore. ieee.org/document/8408384.Хрусталев М. М. Условия равновесия по Нэшу в стохастических дифференциальных играх при неполной информированности игроков о состоянии // Известия Российской академии наук, Ч. 1. 1995. № 6. C. 194—208; Ч. 2. 1996. № 1. C. 72—79.Khrustalyov M. M. Izvestiya Rossijskoj akademii nauk, Part 1, 1995, no. 6, pp. 194—208; Part 2, 1996, no. 1, pp. 72—79 (in Russian).Øksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. Springer, Berlin Heidelberg, 2003.Øksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, Springer, Berlin Heidelberg, 2003.Etienne de Klerk. Aspects of Semidefinite Programming. Springer US, 2002.Etienne de Klerk. Aspects of Semidefinite Programming, Springer US, 2002.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.