Кандидат технических наук, доцент, научный сотрудник
г. Саратов
Associate Professor, Saratov State University, Saratov, Russian Federation; Researcher, Institute of Precision Mechanics and Control Problems of the Russian Academy of Sciences
Saratov
Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
г. Саратов
Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник
г. Саратов
В кватернионной постановке рассмотрена задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата. Управление (вектор ускорения от реактивной тяги) ограничено по величине. Требуется определить оптимальную ориентацию этого вектора в пространстве. При этом необходимо минимизировать затраты энергии на процесс переориентации орбиты космического аппарата. Для описания движения центра масс космического аппарата использовано кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты. Поставленная задача решена с использованием принципа максимума Л. С. Понтрягина. Дифференциальные уравнения задачи были упрощены с помощью известного частного решения уравнения для переменной, сопряженной к истинной аномалии. Задача оптимальной переориентации орбиты космического аппарата была сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений пятнадцатого порядка. Для численного решения полученной краевой задачи был осуществлен переход к безразмерным переменным. При этом в фазовых и сопряженных уравнениях появился характерный безразмерный параметр задачи. Для нахождения неизвестных начальных значений сопряженных переменных был построен оригинальный численный алгоритм. Этот алгоритм является комбинацией методов РунгеКутта 4-го порядка точности и двух методов решения краевых задач: модифицированного метода Ньютона и метода градиентного спуска. Использование двух методов решения краевых задач позволило повысить точность решения исследуемой краевой задачи оптимального управления. Приведены примеры численного решения задачи для случаев, когда отличие (в угловой мере) между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата составляет единицы (или десятки) градусов. Построены графики изменения компонент кватерниона ориентации орбиты космического аппарата; переменных, характеризующих форму и размеры орбиты космического аппарата; оптимального управления. Дан анализ полученных решений. Установлены особенности и закономерности процесса оптимальной переориентации орбиты космического аппарата. Так, в случае, когда отличие между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата мало, эксцентриситет орбиты космического аппарата и модуль вектора момента орбитальной скорости космического аппарата имеют лишь одну точку экстремума. Напротив, в случае, когда отличие между ориентациями начальной и конечной орбит космического аппарата велико, указанные функции имеют несколько точек локального экстремума.
The problem of optimal reorientation of the spacecraft orbit is considered in quaternion formulation. Control (vector of the acceleration of the jet thrust) is limited in magnitude. It is required to determine the optimal orientation of the vector of the acceleration in space to solve the problem. It is necessary to minimize the energy consumption of the process of reorientation of the spacecraft orbit. We used quaternion differential equation of the orientation of the spacecraft orbit to describe the motion of the center of mass of the spacecraft. The problem was solved using the maximum principle of L. S. Pontryagin. We simplified the differential equations of the problem using known partial solution of the equation for the variable conjugated to true anomaly. The problem of optimal reorientation of the spacecraft orbit was reduced to a boundary value problem with a moving right end of the trajectory described by a system of nonlinear differential equations of fifteenth order. For the numerical solution of the obtained boundary value problem the transition to dimensionless variables was carried out. At the same time a characteristic dimensionless parameter of the problem appeared in the phase and conjugate equations. We constructed an original numerical algorithm for finding unknown initial values of conjugate variables. The algorithm is a combination of Runge-Kutta 4th order method and two methods for solving boundary value problems: modified Newton method and gradient descent method. The using of these two methods for solving boundary value problems has improved the accuracy of the solution of the investigated boundary value problem of optimal control. Examples of numerical solution of the problem are given for the cases when the difference (in angular measure) between initial and final orientations of the spacecraft orbit is equals to a few (or tens of) degrees. Graphs of changes component of the quaternion of the spacecraft orbit orientation; variables characterizing the shape and dimensions of the spacecraft orbit; optimal control are plotted. The analysis of the obtained solutions is given. The features and regularities of the process of optimal reorientation of the spacecraft orbit are established. We found that when the difference between initial and final spacecraft orbits is small there is a one point of extremum for the eccentricity of the spacecraft orbit and for modulo of the vector of orbital velocity moment of the spacecraft. And there are a few points of local extremum for these functions when the difference between initial and final spacecraft orbits is large.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.