Доктор технических наук, профессор
Москва
Corresponding author: Kim Dmitry P., D. Sc., Professor
Moscow
Рассматривается алгебраический метод синтеза астатических непрерывных систем управления. Метод основан на построении по заданным показателям качества (времени регулирования, перерегулирования и др.) и заданной передаточной функции объекта желаемой передаточной функции (ЖПФ). Построение ЖПФ основано на использовании желаемой нормированной передаточной функции (НПФ). Желаемой НПФ называется передаточная функция, у которой в знаменателе свободный член и коэффициент при старшей степени равны единице и показатели качества, за исключением времени регулирования, совпадают с показателями качества ЖПФ. Поэтому, построив желаемую НПФ и проделав обратное преобразование с коэффициентом преобразования, равным отношению времени регулирования синтезируемой системы и времени регулирования системы с желаемой НПР, получим ЖПФ.
Желаемая НПФ строится из типовых НПФ. Известны различные типовые НПФ: биномиальные, арифметические и геометрические. Тип НПФ определяется по ее характеристическому полиному, НПФ называется биномиальной, если ее характеристический полином представляет бином Ньютона, арифметической и геометрической, если корни их характеристических полиномов образуют арифметическую и геометрическую прогрессии.
При построении желаемой НПФ нужно соблюсти три условия: физической реализуемости регулятора, разрешимости и грубости. Из этих трех условий определяются степени характеристического уравнения синтезируемой системы и степени неизвестных полиномов, которые вводятся в процессе синтеза. После этого по заданным показателям качества определяется нужный тип желаемой НПФ. При этом находим только знаменатель желаемой НПФ. Числитель желаемой НПФ, если синтезируемая система астатическая r-го порядка и объект не содержит правых полюсов и нулей, равен сумме r последних слагаемых характеристического полинома.
После того как получена ЖПФ системы, определяется передаточная функция регулятора приравниванием передаточной функции замкнутой системы ЖПФ.
An algebraic method for the synthesis of astatic continuous-time control systems is considered. The method is based on the construction of the desired transfer function (DTF) from given performance indicators (setting time, overshoot, etc.) and a given plant transfer function. The construction of DTF is based on the use of the desired normalized transfer function (NTF). The desired NTF is the transfer function whose denominator is a monic polynomial with unit free term and whose performance indicators, except for the setting time, coincide with those of the DTF. Therefore, one can obtain the DTF by constructing the desired NTF and then by applying the inverse transform with transformation ratio equal to the ratio of the setting time of the system to be synthesized to that of the system with the desired NTF. The desired NTF is assembled from standard NTFs. There are various standard NTFs: binomial, arithmetic, and geometric. The type of an NTF is determined by its characteristic polynomial; an NTF is said to be binomial if its characteristic polynomial is the Newton binomial and arithmetic or geometric if the roots of its characteristic polynomial form an arithmetic or a geometric progression, respectively. When constructing the desired NTF, three conditions must be met: the physical feasibility of the controller, solvability, and robustness. These three conditions determine the degrees of the characteristic equation of the system to be synthesized and the degrees of the unknown polynomials that are introduced in the synthesis process. After that, according to the given performance indicators, the type of the desired NTF is determined. Here we find only the denominator of the desired NTF. If the system to be synthesized is rth-order astatic and the plant does not contain right poles and zeros, then the numerator of the desired NTF is equal to the sum of the last r terms of the characteristic polynomial. After the system DTF has been obtained, the transfer function of the controller is determined by equating the transfer function of the closed-loop system with the DTF.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.