Кандидат технических наук, доцент
г. Томск
634050, Tomsk
Кандидат технических наук, научный сотрудник
г. Томск
Corresponding author: Ezangina Tatiana Al., Ph.D., Researcher,
634050, Tomsk
Аспирант
г. Томск
Кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник
г. Минск
Рассматривается характеристический полином интервальной системы автоматического управления, у которого коэффициенты априорно точно неизвестны или могут произвольно изменяться в заранее известных числовых пределах. При этом корни интервального характеристического полинома мигрируют по комплексной плоскости, образуя области их локализации. По границам этих областей возможно определить степень робастной устойчивости интервальной системы автоматического управления. Для ее анализа рассматривается отображение на корневую комплексную плоскость параметрического многогранника интервальных коэффициентов характеристического полинома системы управления. При этом учитывается известное свойство определения степени робастной устойчивости интервальной системы управления в вершинах этого многогранника. Для нахождения данных проверочных вершин предлагается использовать основное фазовое уравнение метода корневого годографа. Исходя из требований к расположению областей локализации полюсов системы управления проведено интервальное расширение углов от нулей и полюсов, входящих в основное фазовое уравнение. Для этого доказаны утверждения, определяющие суммы интервалов углов полюсов в случае колебательной степени робастной устойчивости интервальной системы управления. Из условий определения полюсом степени колебательной устойчивости системы получены двойные интервальные угловые неравенства, задающие диапазоны углов выхода из этого полюса всех реберных ветвей многопараметрического интервального корневого годографа. В результате проведенных исследований разработана процедура нахождения у многогранника коэффициентов характеристического полинома координат проверочных вершин и соответствующих им вершинных полиномов. Определены вершинные полиномы для анализа степени робастной колебательной устойчивости интервальных систем управления второго, третьего и четвертого порядков. Доказано утверждение для нахождения координат вершины, которая определяет степень робастной апериодической устойчивости. Приведены числовые примеры вершинного анализа степени колебательной и апериодической робастной устойчивости интервальных систем управления третьего и четвертого порядков. Для проверки полученных результатов построены области локализации корней рассмотренных интервальных полиномов, подтверждающие правильность выбора проверочных вершин многогранника интервальных коэффициентов.
In the paper, a characteristic polynomial of an interval control system, whose coefficients are unknown or may vary within certain ranges of values, is considered. Parametric variations cause migration of interval characteristic polynomial roots within their allocation areas, whose borders determine robust stability degree of the interval control system. To estimate a robust stability degree, a projection of a polytope of interval characteristic polynomial coefficients on a complex plane must be examined. However, in order to find a robust stability degree it is enough to examine some vertices of a coefficient polytope and not the whole polytope. To find these vertices, which fully determine a robust stability degree, it is proposed to use a basic phase equation of a root locus method. Considering the requirements to placing allocation areas of system poles an interval extension of expressions for angles included to the phase equation. The set of statements, allowing to find a sum of pole angles intervals in the case of degree of oscillating robust stability, were formulated and proved. From these statements, a set of double interval angular inequalities was derived. The inequalities determine ranges of angles of all root locus edge branches departure from every pole. Considered research resulted in a procedure of finding coordinates of verifying vertices of a coefficients polytope and vertex polynomials according to these vertices. Such polynomials were found for oscillating robust stability degree analysis of interval control systems of the second, the third and the forth order. Also, similar statements were derived for aperiodical robust stability degree analysis. Numerical examples of vertex analysis of oscillating and aperiodical robust stability degree were provided for interval control systems of the second, the third and the fourth order. Obtained results were proved by examining root allocation areas of interval characteristic polynomials examined in application examples of proposed methods.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.