Представлен краткий обзор истории создания и развития геометрических математических моделей и применения пневматических мускулов (ПМ) и баллонных цилиндров (БЦ). ПМ и БЦ представляют собой гибкую и надувающуюся оболочку, при этом перемещение, развиваемое этими элементами, зависит от внутреннего давления. Перемещение осуществляется в осевом направлении и зависит от изменения внутреннего давления. При этом происходит изменение формы оболочки. Рассматриваемые двигатели можно разделить на два типа — тянущие и толкающие. Направление перемещения зависит от соотношения длины элемента и диаметра оболочки. ПМ относится к тянущему типу, БЦ — к толкающему. В последнее время увеличилось промышленное и научное использование рассматриваемых элементов, поскольку по сравнению с пневматическими цилиндрами они обладают рядом преимуществ, таких как малая масса, плавность хода на малых скоростях, большие начальные усилия. Рассмотрены такие конструкции, как оплетенные, складчатые и другие ПМ. В данной статье обсуждаются наиболее часто используемые подходы к созданию геометрических математических моделей ПМ и БЦ. Рассматриваемые математические модели связывают такие параметры ПМ и БЦ, как развиваемое усилие, изменение осевой длины элемента, изменение давления во внутренней полости, диаметр и свойства материала, из которого выполнен сам элемент. В основном для управления ПМ и БЦ требуется контролировать его длину или развиваемое усилие. Представлены российский и зарубежные подходы к созданию геометрических математических моделей ПМ и БЦ. Описаны также возможности применения ПМ и БЦ в различных областях, таких как биоробототехника, медицина и в промышленности. В заключение приведены возможности для уточнения рассмотренных подходов к созданию геометрических математических моделей ПМ и БЦ.