Н. С. Слободзян, канд. техн. наук, зам. гл. конструктора по сервисной робототехнике и мехатронным системам
г. Санкт-Петербург
N. S. Slobodzyan
Saint Petersburg, 194064
В работе рассматриваются и сравниваются три различных подхода к решению прямой задачи кинематики роботов-манипуляторов последовательной кинематической структуры: метод однородных матриц преобразования координат, кватернионный метод и метод бикватернионов. Актуальность исследования обусловлена высокими требованиями к скорости и точности решения кинематических задач в современных робототехнических системах, особенно в критически важных областях, таких как медицина и атомная промышленность, где задержки или ошибки могут привести к критическим последствиям. Для каждого метода приведено подробное описание математического аппарата. Выполнен детальный теоретический пооперационный анализ вычислительной сложности каждого подхода, учитывающий число арифметических операций и тригонометрических вычислений. Особое внимание уделено практической оценке эффективности реализации методов на микроконтроллере с архитектурой ARM Cortex-M4F, широко применяемом в системах управления робототехническими устройствами. Проведено экспериментальное сравнение производительности методов в различных режимах компиляции с использованием данных одинарной и двойной точности. Установлено, что кватернионный и бикватернионный методы, несмотря на формально большее число арифметических операций по теоретической оценке, превосходят классический матричный метод по скорости выполнения на практике. Это объясняется меньшим числом обращений к оперативной памяти, более простой структурой операций, позволяющей эффективно использовать конвейеризацию, а также использованием половинных углов, вычисление тригонометрических функций для которых является более быстрым. Кроме того, данные методы имеют компактное представление и обладают рядом концептуальных преимуществ: отсутствие проблемы шарнирного замка, плавная интерполяция ориентаций, устойчивость к накоплению численных ошибок и возможность эффективного формирования якобианов. Эти свойства делают кватернионные и бикватернионные методы особенно ценными для современных робототехнических систем, работающих в реальном времени с ограниченными вычислительными ресурсами.
This paper presents and compares three approaches to solving forward kinematics in serial-chain robotic manipulators: homogeneous transformation matrices, quaternions, and biquaternions. The study addresses stringent demands for speed and accuracy in modern robotic systems — particularly in safety-critical domains like medicine and nuclear industry, where delays or computational errors may lead to critical consequences. Each method’s mathematical framework is described. A detailed, operation-level analysis of computational complexity is conducted, accounting for arithmetic and trigonometric operations. Emphasis is placed on practical performance when implemented on the ARM Cortex-M4F microcontroller — widely used in robotic control. Experimental comparisons are performed across compilation modes and single/double-precision data. Results show that, despite higher theoretical operation counts, quaternion and biquaternion methods outperform the classical matrix approach in execution speed. This stems from fewer memory accesses, simpler structure enabling efficient pipelining, and faster trigonometric evaluations via half-angle formulations. Moreover, these methods offer compact representation and key advantages: elimination of gimbal lock, smooth orientation interpolation, robustness against numerical error accumulation, and efficient Jacobian computation — making them especially valuable for real-time robotic systems with constrained computational resources.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.