<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">novtexmech</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Мехатроника, автоматизация, управление</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">1684-6427</issn><issn pub-type="epub">2619-1253</issn><publisher><publisher-name>Commercial Publisher «New Technologies»</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.17587/mau.26.649-656</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">novtexmech-1886</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>ДИНАМИКА, БАЛЛИСТИКА, УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="en"><subject>DYNAMICS, BALLISTICS AND CONTROL OF AIRCRAFT</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Алгоритмизация оценки максимальной дальности полета летательного аппарата методами нелинейного программирования и параметрической идентификации</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Algorithmization of Maximum Aircraft Range Estimation Using Methods of Nonlinear Programming and Parameter Identification</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Корсун</surname><given-names>О. Н.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Korsun</surname><given-names>O. N.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Д-р техн. наук, проф., начальник научно-образовательного центра</p><p>Москва</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Korsun Oleg N., D. Sc.</p><p>Moscow, 125167</p></bio><email xlink:type="simple">marmotto@rambler.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Королев</surname><given-names>А. Ю.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Korolev</surname><given-names>A. Yu.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Аспирант</p><p>Москва</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Moscow</p></bio><email xlink:type="simple">a.y.korolyov@yandex.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Стуловский</surname><given-names>А. В.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Stulovskii</surname><given-names>A. V.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Канд. техн. наук, инженер</p><p>Москва</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Moscow</p></bio><email xlink:type="simple">avstlv@gosniias.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>ФАУ "Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем"</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>State Research Institute of aviation systems</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2025</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>06</day><month>12</month><year>2025</year></pub-date><volume>26</volume><issue>12</issue><fpage>649</fpage><lpage>656</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Commercial Publisher «New Technologies», 2025</copyright-statement><copyright-year>2025</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Commercial Publisher «New Technologies»</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Commercial Publisher «New Technologies»</copyright-holder><license xlink:href="https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNotice" xlink:type="simple"><license-p>https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNotice</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://mech.novtex.ru/jour/article/view/1886">https://mech.novtex.ru/jour/article/view/1886</self-uri><abstract><p>Обсуждается применение нелинейного программирования для  решения задачи оценивания максимальной дальности полета летательного аппарата. Преимуществом данного подхода является то, что он позволяет поставить задачу в достаточно общем виде, используя только основные аэродинамические характеристики летательного аппарата, например, не требуя определения закона наведения, за счет чего удается получить верхнюю границу оценок. Максимальная дальность полета определяется в результате поиска оптимального управления. Чтобы его найти, управляющий сигнал сначала представляется в виде своего разложения по векторам некоторого базиса. Нахождение коэффициентов разложения, выполняемое методами параметрической идентификации, является задачей однокритериальной многопараметрической оптимизации, которая может быть решена численно. В статье в качестве базиса для приближения управлений используются кубические  эрмитовы сплайны. Их особенность заключается в том, что они не требуют непрерывности второй производной в узлах  плайна,  поэтому могут применяться для аппроксимации более широкого класса сигналов. С этим связан и их основной недостаток: они задаются большим  числом параметров, чем классический интерполяционный кубический сплайн. В работе принимается естественный целевой функционал в рассматриваемой задаче, максимальная дальность. Оптимизация параметров  управления  выполняется методом нулевого порядка. Для этого используется  одна из распространенных разновидностей популяционных  алгоритмов — рой частиц. Такой выбор обеспечивает работу  с  вектором параметров значительной размерности. Приводятся результаты, показывающие устойчивость полученных решений к варьированию значений параметров сплайнов и граничных условий. Проводится сравнение оценок дальности, полученных с помощью нелинейного программирования, с другим подходом, когда структура закона наведения задается в явном  виде,  а  оптимизации  подлежат  только значения его параметров. Проведенные эксперименты показали, что при фиксированной структуре закона наведения максимальная дальность получается несколько ниже, вероятно, вследствие введения дополнительных  ограничений. Кроме того, в рамках нелинейного программирования рассматривается поиск управлений в более широком классе сигналов, которые могут быть получены с применением искусственной нейронной сети. Показано, что использование нейронных сетей в  данной  задаче не предоставляет существенных преимуществ по сравнению  с  кубическими  сплайнами, хотя требует идентификации заметно большего числа параметров.</p></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><p>The article deals with the use of nonlinear programming to solve the problem of maximum aircraft range estimation. The advantage of this approach is that it allows setting the problem in a sufficiently general form, based only on the principal aerodynamic characteristics of the aircraft, for example, without requiring the determination of the guidance law. Due to this, it is possible to obtain the upper limit estimates. The maximum flight range is determined as a solution of optimal control problem. To obtain it, the control signal is expanded in some basis. Estimation of expansion coefficients, performed by parametric identification methods, is the single-criteria multi-parametric optimization problem, which can be solved numerically. In the article, cubic Hermite splines are used as the basis for control approximation. One of their characteristics is that they do not require continuity of the second derivative in their nodes. Therefore, Hermite splines manage to approximate a wider class of signals. This also causes their main drawback — they require larger number of parameters than the classic interpolation cubic splines. The paper considers natural candidate for target functional — maximum flight range. Optimization of control parameters is carried out by the zero order method. One of the more common varieties of population algorithms, particle swarm, is used. Such choice ensures that work with a parameter vector of significant dimension is possible. The article demonstrates that obtained solutions are stable with regard to variations of spline parameters’ values and boundary conditions. It also compares the range estimations obtained using nonlinear programming with another case, when the structure of the guidance law is set explicitly, and only the values of its parameters are subject to optimization. The experiments showed that with a fixed structure of the guidance law the maximum range is slightly lower, probably due to the introduction of additional restrictions. In addition, the paper considers the extension of class of controls to include signals that could be obtained using an artificial neural network. The results show that the application of neural networks in this task does not provide significant advantages compared to cubic splines, although it requires identification of a noticeably larger number of parameters.</p></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>нелинейное  программирование</kwd><kwd>оптимальное  программное  управление</kwd><kwd>летательный  аппарат</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>nonlinear programming</kwd><kwd>optimal open-loop control</kwd><kwd>aircraft</kwd></kwd-group><funding-group><funding-statement xml:lang="ru">Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках соглашения № 075-15-2025-606</funding-statement><funding-statement xml:lang="en">This work was supported by the Ministry of science and higher education of the Russian Federation, grant No 075-15-2025-606</funding-statement></funding-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред. Г. С. Бюшгенса. М.: Наука. Физматлит, 1998. 816 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Byushgens G. S. ed. Aerodynamics, stability and controllability of supersonic aircrafts, Moscow, Nauka, 1998, 816 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Васильченко К. К., Леонов В. А., Пашковский И. М., Поплавский Б. К. Летные испытания самолетов. М.: Машиностроение, 1996. 719 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Vasilchenko K. K., Leonov V. A., Pashkovskij I. M., Poplavskij В. K. Aircraft flight tests, Moscow, Mashinostroenie, 1996, 719 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Hargraves C. R., Paris S. W. Direct trajectory optimization using nonlinear programming techniques // Journal of guidance, control, and dynamics. 1987. Vol. 10. P. 338—342.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Hargraves C. R., Paris S. W. Direct trajectory optimization using nonlinear programming techniques, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1987, vol. 10, pp. 338—342, DOI: 10.2514/3.20223</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Huang G., Lu Y., Nan Y. А survey of numerical algorithms for trajectory optimization of flight vehicles // Science China. Technological sciences. 2012. Vol. 55, N. 9. P. 2538—2560.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Huang G., Lu Y., Nan Y. А survey of numerical algorithms for trajectory optimization of flight vehicles, Science China. Technological Sciences, 2012, vol. 55, no. 9, pp. 2538—2560, DOI: 10.1007/s11431-012-4946-y</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Marguet V. Motion planning for multi-agent dynamical systems in a В-spline framework. Ph.D. Thesis, Université Grenoble Alpes, France, 2024.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Marguet V. Motion planning for multi-agent dynamical systems in a В-spline framework. Ph.D. Thesis, Université Grenoble Alpes, France, 2024.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Zav’yalov Ju. S., Kvasov B. I., Miroshnichenko V. L. Methods of spline functions, Moscow, Nauka, 1980, 352 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Вермель В. Д. Основы вычислительной (инженерной) геометрии. М.: Инновационное машиностроение, 2021. 352 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Wermel’ V. D. Fundamentals of computational (engineering) geometry, Moscow, Innovacionnoe mashinostroenie, 2021, 352 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Методы классической и современной теории автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: Изд. МГТУ им. Баумана, 2004. 656 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pupkov K. A., Egupov N. D. eds. Methods of classical and modern theory of automatic control, Moscow, Izd. MGTU im. Baumana, 2004, 656 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit9"><label>9</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Eberhart R. C., Kennedy J. Particle Swarm Optimization // Proceedings of the IEEE Intern. Conf. on Neural Networks. Piscataway, NJ, 1995. P. 1942—1948.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Eberhart R. C., Kennedy J. Particle Swarm Optimization, Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks, Piscataway, NJ, 1995, pp. 1942—1948, DOI: 10.1109/ICNN.1995.488968</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit10"><label>10</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Olsson А. E. Particle swarm optimization: theory, technique and applications. Hauppage, USA: Nova Science Publishers, 2011. 305 p.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Olsson А. E. Particle swarm optimization: theory, technique and applications. Hauppage, USA, Nova Science Publishers, 2011, 305 p.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit11"><label>11</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Малышев В. В. Методы оптимизации в задачах системного анализа и управления. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. 440 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Malyshev V. V. Optimization methods in problems of system analysis and control, Moscow, Publishing house of MAI-PRINT, 2010, 440 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit12"><label>12</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Chernous’ko F. L., Anan’evskij I. M., Reshmin S. A. Control methods for nonlinear mechanical systems, Moscow, Fizmatlit, 2006, 328 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit13"><label>13</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Rao А. V. Survey of numerical methods for optimal control // Advances Astronautical Sciences. 2010. Vol. 135. P. 497—528.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Rao А. V. Survey of numerical methods for optimal control, Advances in the Astronautical Sciences, 2010, vol. 135, no. 1, pp. 497—528.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit14"><label>14</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Корсун О. Н., Стуловский А. В. Сравнение прямого метода и принципа максимума в задаче формирования программного управления летательным аппаратом // Мехатроника, автоматизация и управление. 2019. № 6. С. 367—375.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Korsun O. N., Stulovskii А. V. Comparison of the direct method and the maximum principle in the problem of the aircraft program control design, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2019, no. 6, pp. 367—375 (in Russian), DOI: 10.17587/mau.20.367-375</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit15"><label>15</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">ГОСТ 20058—80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. М.: Изд-во стандартов, 1981. 54 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">GOST 20058—80. Dynamics of aircraft in the atmosphere. Terms, definitions and symbols, Moscow, Izdatel’stvo standartov, 1981, 54 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit16"><label>16</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Карпенко А. П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой. М.: Изд. МГТУ им. Баумана, 2016. 448 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Karpenko А. P. Modern search optimization algorithms. Algorithms inspired by nature, Moscow, Publishing house of MGTU im. Baumana, 2016, 448 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit17"><label>17</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Nature-inspired Optimizers: Theories, Literature Reviews and Applications / Eds S. Mirjalili, J. S. Dong, А. Lewis. Switzerland, AG: Springer Nature, 2020. 239 p.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Mirjalili S., Dong J. S., Lewis А. eds Nature-inspired Optimizers: Theories, Literature Reviews and Applications, Switzerland, AG, Springer Nature, 2020, 239 p.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit18"><label>18</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Корсун О. Н., Стуловский А. В. Восстановление параметров движения летательного аппарата с использованием алгоритмов оптимального управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2023. № 1. С. 44—55.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Korsun O. N., Stulo vsky А. V. Recovery of aircraft motion parameters using the optimal control algorithms, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2023, vol. 62, no. 1, pp. 61—72, DOI: 10.1134/s1064230723010057</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit19"><label>19</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Неупокоев Ф. К. Стрельба зенитными ракетами. М.: Воениздат, 1991. 344 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Neupokoev F. K. Surface-air missiles firing, Moscow, Voen’izdat, 1991, 344 p. (in Russian).</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit20"><label>20</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Hornik K., Stinchcombe M., White Н. Multilayer feedforward networks are universal approximators // Neural networks. 1989. Vol. 2. P. 359—366.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">HornikK., Stinchcombe M., White Н. Multilayer feedforward networks are universal approximators, Neural Networks, 1989, vol. 2, no. 5, pp. 359—366, DOI: 10.1016/0893-6080(89)90020-8</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit21"><label>21</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. М.: ООО "И. Д. Вильямс", 2016. 1104 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Haykin S. O. Neural networks: a comprehensive foundation (2nd edition) Upper Saddle River, USA, Prentice Hall, 1998, 842 p.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit22"><label>22</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Брантон С. Л., Куц Дж. Н. Анализ данных в науке и технике. М.: ДМК Пресс, 2021. 574 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Brunton S. L., Kutz J. N. Data driven science and engineering. Machine learning, dynamical systems, and control, Cambridge, Cambridge University Press, 2019, 472 p.</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
