д-р техн. наук, проф.
Tula, 300600
Рассматривается задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) в постановке А. А. Красовского для устойчивых многомерных объектов, описываемых матричным дифференциальным уравнением с полиномиальными нелинейностями от фазовых координат. Данный класс объектов управления, получивших название полиномиальных, достаточно широк для приложений: указанные модели используются для описания движения систем самой различной природы, например, электромеханических устройств, химических реакторов, промышленных объектов с рециклом, биологических и экологических систем и др.
Для решения указанной задачи АКОР в ранней работе автора предложен метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, который во многом уменьшает недостатки метода степенных рядов (большой объем операций с полиномами, неприспособленных к программированию) за счет использования процедуры многомерной линеаризации описания полиномиальных объектов. Эта процедура осуществляется за счет расширения пространства состояния объекта новыми координатами, представляющими собой произведения исходных фазовых координат, и применения аппарата теории матриц с кронекеровским (прямым) произведением. В данной работе осуществляется модификация этого метода синтеза систем за счет использования не полной, а сокращенной кронекеровской степени вектора состояния объекта и учета блочнодиагональной структуры матрицы параметров применяемой линеаризованной модели объекта, что обеспечивает дальнейшее многократное сокращения объема вычислений при синтезе систем управления.
Предлагаемый модифицированный метод синтеза позволяет найти в форме полиномиальной функции приближенное решение задачи АКОР с относительно высокой точностью, причем его реализация отличается предельной простотой вследствие использования в основном известного программного обеспечения для решения линейно-квадратичных задач оптимального управления (процедур решения матричных уравнений Ляпунова и Сильвестра).
Особенности метода иллюстрируются на конкретном примере синтеза квазиоптимальной системы управления.
The paper considers the problem of analytical design of optimal regulators (ADOR) in the formulation of A. A. Krasovsky for the studied stable multidimensional objects described by a matrix differential equation with polynomial nonlinearities in phase coordinates. This class of control objects, called polynomial, is quite wide for applications: these models are used to describe the movement of systems of a very different nature, for example, electromechanical devices, chemical reactors, industrial facilities with recycling, biological and environmental systems, etc. To solve this problem of ADOR in the early work of the author, a method is proposed for synthesizing quasi-optimal controllers, which largely weakens the disadvantages of the power series method (a large volume of operations with polynomials that are not suitable for programming) through the use of a procedure for multidimensional linearization of the description of polynomial objects, carried out by expanding the space state of the object with new coordinates, which are products of the original phase coordinates, and the application of the apparatus of matrix theory with the Kronecker (direct) product. In this paper, a modification of this method of system synthesis is carried out by using a reduced rather than a full Kronecker degree of the object state vector and taking into account the block-diagonal structure of the parameter matrix of the applied linearized model of the object, which ensures a further multiple reduction in the volume of calculations in the synthesis of control systems. The proposed modified synthesis method makes it possible to find, in the form of a polynomial function, an approximate solution to the ADOR problem with high accuracy, and its implementation is extremely simple due to the use of mainly well-known software for solving linear-quadratic optimal control problems (procedures for solving Lyapunov and Sylvester matrix equations).
The features of the method are illustrated using a specific example of the synthesis of a quasi-optimal control system.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.