novtexmechМехатроника, автоматизация, управлениеMekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie1684-64272619-1253Commercial Publisher «New Technologies»10.17587/mau.25.585-595novtexmech-1648Research ArticleСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИSYSTEM ANALYSIS, CONTROL AND INFORMATION PROCESSINGСравнительный анализ квазилинейных алгоритмов калмановского типа в задаче оценивания марковской последовательности при нелинейностях в формирующем фильтре и уравнениях измеренийComparative Analysis of Quasi-Linear Kalman-Type Algorithms in Estimating a Markov Sequence with Nonlinearities in the System and Measurement EquationsСтепановО. А.StepanovO. A.

д-р техн. наук, проф.

г. Санкт-Петербург

Dr. Sc., Professor

Saint Petersburg, 197046

soalax@mail.ruЛитвиненкоЮ. А.LitvinenkoYu. A.

канд. техн. наук, доц.

г. Санкт-Петербург

PhD, Associate Professor

Saint Petersburg, 197046

ya_litvinenko@mail.ruИсаевА. М.IsaevA. M.

аспирант

г. Санкт-Петербург

Postgraduate student

Saint Petersburg, 197046

itmo_student@mail.ruАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", Университет ИТМОРоссияITMO University, Elektropribor, JSCRussian Federation2024071120242511585595Copyright © Commercial Publisher «New Technologies», 20242024Commercial Publisher «New Technologies»Commercial Publisher «New Technologies»https://mech.novtex.ru/jour/about/submissions#copyrightNoticehttps://mech.novtex.ru/jour/article/view/1648

Рассматриваются так называемые алгоритмы калмановского типа (АКТ), среди них выделен класс квазилиней- ных АКТ, особенностями которых является гауссовская аппроксимация апостериорной функции плотности распределения вероятностей на каждом шаге и процедура обработки текущего измерения, основанная на идеологии построения линейного оптимального алгоритма. Обсуждается единая структура таких алгоритмов и их особенности. Введены две группы квазилинейных АКТ: первая — алгоритмы, использующие разложение нелинейных функций в ряд Тейлора, а вторая — так называемые линейные регрессионные АКТ. Рассмотрены способы их построения, а также описаны общие черты, присущие алгоритмам каждой из выделенных групп. Значительное внимание уделяется АКТ, получившим наиболее широкое распространение при решении практических задач: обобщенному фильтру Калмана и полиномиальным фильтрам второго и третьего порядков как представителям первой группы и ансцентному и кубатурному фильтрам Калмана — как представителям второй группы. Проводится их сравнительный анализ на примере решения задачи оценивания скалярной марковской последовательности при наличии нелинейностей в формирующем фильтре и в уравнениях измерений. Для всех исследуемых алгоритмов приводятся формульные зависимости в виде, удобном для сопоставления. Опираясь на эти соотношения, выявляются возможные причины снижения точности и нарушения свойств состоятельности. С использованием предложенной ранее методики, основанной на методе статистических испытаний, проведено предсказательное моделирование, позволившее подтвердить выводы, полученные предварительно на основе анализа соотношений для сопоставляемых алгоритмов, и оценить их вычислительную сложнос ть. Результаты исследования могут быть полезны разработчикам, связанным с обработкой измерительной информации при выборе алгоритма фильтрации для решения конкретных практических задач оценивания.

The so-called Kalman type algorithms (KTA) are considered, among them quasi-linear KTAs introduced as a separate class, the features of which are the Gaussian approximation of the a posteriori probability density function (p.d.f.) at each step and the procedure for processing the current measurement based on the ideology of a linear optimal algorithm. The unified structure of such algorithms and their features are discussed. Two groups are distinguished the quasi-linear KTA: the first is algorithms using Taylor series expansion of the nonlinear functions, and the second is the so-called linear regression KTA. The methods of their designing are considered, and the common features are described. Detailed attention is paid to the following KTAs: the extended Kalman filter (EKF), polynomial filters of the second and third order (PF2 and PF3), as representatives of the first group, and the Unscented and Cubature Kalman filters (UKF and CKF), as representatives the second one. Their comparative analysis is carried out using the estimation problem of a scalar Markov sequence in the presence of nonlinearities in the shaping filter and in the measurement equations. For all the studied algorithms, the formulas are given in a form convenient for comparison. Based on these formulas, possible causes of a decrease in accuracy and a violation of the consistency properties are identified. Using the previously proposed procedure based on the method of statistical tests, predictive simulation was carried out, which made it possible to confirm the conclusions obtained previously on the basis of an analysis of the formulas for the algorithms being compared. The simulation also allowed to compare the computational complexity of the compared algorithms. The results of the study may be useful to developers involved in the processing of measurement information when choosing a filtering algorithm for solving specific practical estimation problems.

нелинейная фильтрациябайесовский подходалгоритмы калмановского типасопоставлениеполиномиальный фильтрлинейный регрессионный фильтр Калманасигма-точечный фильтр Калманаnonlinear filteringBayesian approachKalman type algorithmscomparisonpolynomial filterlinear regression Kalman filtersigma-point Kalman filterРабота проводилась при поддержке гранта РНФ № 23-19-00626, https://rscf.ru/project/23-19-00626/.The work was supported by the Russian Science Foundation grant no. 23-19-00626, https://rscf.ru/project/23-19-00626/.ReferencesKalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. Series D, J. Basic Engineering. 1960. Vol. 82, N. 1. P. 35—45.Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME. Series D, J. Basic Engineering, 1960, vol. 82, no. 1, pp. 35—45.Jazwinski A. H. Stochastic process and filtering theory. Maryland: Inc. Seabrook, 1970. 376 p.Jazwinski A. H. Stochastic process and filtering theory, Maryland, Inc. Seabrook, 1970, 376 p.Gelb A. Applied Optimal Estimation. Boston: M. I. T. Press, 1974. 384 p.Gelb A. Applied Optimal Estimation , Boston, M. I. T. Press, 1974, 384 p.Дмитриев С. П., Шимелевич Л. И. Нелинейные задачи обработки навигационной информации. Л.: ЦНИИ "РУМБ", 1977. 84 с.Dmitriev S. P., Shimelevich L. I. Nelineynye zadachi obrabotki navigatsionnoy informatsii, Leningrad, TsNII "RUMB", 1977, 84 p (in Russian).Bar-Shalom Y., Li X., Kirubarajan T. Estimation with applications to tracking and navigation. New York: Wiley—Interscience, 2001. 581 p.Bar-Shalom Y., Li X., Kirubarajan T. Estimation with applications to tra cking and navigation, New York, Wiley—Interscience, 2001, 581 p.Степанов О. А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2003. 370 с.Stepanov O. A. Primenenie teorii nelineynoy filtratsii v zadachakh obrabotki navigatsionnoy informatsii, St. Petersburg, Concern CSRI Elektropribor, JSC, 2003, 370 p (in Russian).Синицын И. Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Университетская книга, Логос, 2006. 640 c.Sinitsyn I. N. Filtry Kalmana i Puga cheva, Moscow, Universitetskaya kniga, Logos, 2006, 640 p (in Russian).Simon D. Optimal State Estimation: Kalman H∞ and Nonlinear Approaches. NJ: John Wiley & Sons, Inc, 2006. 552 p.Simon D. Optimal State Estimation: Kalman H∞ and Nonlinear Approaches, NJ, John Wiley & Sons, Inc, 2006, 552 p.Степанов О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1. Введение в теорию оценивания. СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор", 2017. 509 с.Stepanov O. A. Fundamentals of Estimation Theory with Applications to Problems of Processing Navigational Information. Part 1. Introduction to Estimation Theory, St. Petersburg, Concern CSRI Elektropribor, JSC, 2017, 509 p (in Russi an).Afshari H. H., Gadsden S. A., Habibi S. Gaussian filters for parameter and state estimation: A general review of theory and recent trends // Signal Processing. 2017. Vol. 35. P. 218—238.Afshari H. H., Gadsden S. A., Habibi S. Gaussian filters for parameter and state estimation: A general review of theory and recent trends, Signal Pr ocessing, 2017. vol. 35, pp. 218-238.Duník J., Biswas S. K., Dempster A. G., Pany T., Closas P. State Estimation Methods in Navigation: Overview and Application // IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. 2020. Vol. 35, N. 12. P. 16—31.Duník J., Biswas S. K., Dempster A. G., Pany T., Closas P. State Estimat ion Methods in Navigation: Overview and Application, IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine, 2020, vol. 35, no. 12, pp. 16—31.Корсун О. Н., Горо С., Ом М. Х. Сравнение подходов фильтрации Калмана при оценивании параметра движения самолета // Мехатроника, автоматизация, управление. 2023. Т. 24, № 11. С. 590—597.Korsun O. N., Goro S., Om M. H. A Comparison between Kalman Filtering Approaches in Aircraft Flight Signal Estimation, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2023, vol. 24, no. 11, pp. 590—597.Степанов О. А., Исаев А. М. Методика сравнительного анализа рекуррентных алгоритмов нелинейных фильтрации в задачах обработки навигационной информации на основе предсказательного моделирования // Гироскопия и навигация. 2023. Т. 31, № 3 (122). C. 48—65.S tepanov O. A., Isaev A. M. A procedure of comparative analysis of recursive nonlinear filtering algorithms in navigation data processing based on predictive simulation, Gyroscopy and Navigation, 2 023, vol. 14, no. 3, pp. 213—224.Степанов О. А., Литвиненко Ю. А., Васильев В. А., Торопов А. Б., Басин М. В. Алгоритм полиномиальной фильтрации в задачах обработки навигационной информации при квадратичных нелинейностях в уравнениях динамики и измерений. Часть I. Описание и сопоставление с алгоритмами калмановского типа // Гироскопия и навигация. 2021. Т. 29, № 3 (114). С. 3—33.Stepanov O. A., Litvinenko Yu. A., Vasil’ev V. A., Toropov A. B., Basin M. V. Polynomial filtering algorithm applied to navigation data processing under quadratic nonlinearities in s ystem and measurement equations. Part 1. Description and comparison with Kalman type algorithms, Gyroscopy and Navigation, 2021, vol. 12, no. 3, pp. 205—223.Gustafsson F., Hendeby G. Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters // Signal Processing, IEEE Transactions. 2012. Vol. 60, N. 2. P. 545—555.Gustafsson F., Hendeby G. Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters, IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, vol. 60, no. 2. pp. 545—555.Куликова М. В., Куликов Г. Ю. Численные методы нелинейной фильтрации для обработки сигналов и измерений // Вычислительные технологии. 2016. Т. 21, № 4. С. 64—98.Kulik ova M. V., Kulikov G. Yu. Numerical methods of nonlinear filtering for signal processing and measurements, Vychislitelnye tekhnologii, 2016, vol. 21, no. 4 pp. 64—98 (in Russian).Lefebvre T., Bruyninckx H., De Schuller J. Comment on "A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators" // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47, N. 8. P. 1406—1409.Lefebvre T., Bruyninckx H., De Schuller J. Comment on "A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators", IEEE Transactions on Automatic Control, 2002, vol. 47, no. 8, pp. 1406—1409.Steinbring, J.; Hanebeck, U. D. LRKF revisited: The smart sampling Kalman filter (S2KF) // J. Adv. Inf. Fusion. 2014. Vol. 9. P. 106—123.Steinbring J., Hanebeck U. D. LRKF revisited: The s mart sampling Kalman filter (S2KF), Journal of Advances in Information Fusion, 2014, vol. 9, no. 2, pp. 106—123.Julier S. J., Uhlmann J. K., Durrant-Whyte H. A new approach for filtering nonlinear systems // Proc. of the "American Control Conference". Seattle, WA. 1995. P. 1628—1632.Julier S. J., Uhlmann J. K., Durrant-Whyte H. A new approach for filtering nonlinear systems, Proc. of the "American Control Conference", 1995, vol. 3, pp. 1628—1632.Wan E. A., Van der Merwe R. The unscented Kalman filter for nonlinear estimation // Proc. of the Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium. Lake Louise, Alta. 2000. P. 666—672.Wan E. A., Van der Merwe R. The unscented Kalman filter for nonlinear estimation, Proc. of the Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium, 2000, pp. 666—672.Arasaratnam I., Haykin S. Cubature Kalman filters // IEEE Trans. Automat. Control. 2009. Vol. 54, N. 6. P. 1254—1269.Arasaratnam I., Haykin S. Cubature Kalman filters, IEEE Trans. Automat. Control, 2009, vol. 54, no. 6, pp. 1254—1269.Chen Z. Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond. Adaptive Systems Lab., McMasterUniv., Hamilton, Canada. 2003.Chen Z. Bayesian Filtering: From Kalman Filters to Particle Filters, and Beyond, Hamilton, Adaptive Systems Lab., McMasterUniv., 2003, 69 p.Zhankue Z., Rong X., Li V., Jilkov P. Best Linear Unbiased Filtering with Nonlinear Measurements for Target Tracking // IEEE Transactions on aerospace and electronic systems. 2004. Vol. 40, N. 4. P. 1324—1336.Zhankue Z., Rong X., Li V., Jilkov P. Best Linear Unbiased Filtering with Nonlinear Measure ments for Target Tracking, IEEE Transactions on aerospace and electronic systems, 2004, vol. 40, no. 4, pp. 1324—1336.Степанов О. А., Торопов А. Б. Сравнительное исследование линейного и нелинейного оптимальных алгоритмов оценивания в задачах обработки навигационной информации // Гироскопия и навигация. 2010. Т. 1, № 3 (70). С. 24—36.Stepanov O. A., Toropov A. B. Comparative study of linear and nonlinear optimal estimation algori thms in navigation information processing problems, Giroskopiya i navigatsiya, 2010, vol. 1, no. 3(70), pp. 24—36 (in Russian).Doucet A., Freitas N., Gordon N. Sequential Monte Carlo Methods in Practice. Springer, 2001. 590 p.Doucet A., Freitas N., Gordon N. Sequential Monte Carlo Methods in Pra ctice, Springer, 2001, 590 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.